Justifique com argumentos matemáticos, ou seja, por meio da definição:
i f(a)=exists, ii lim x a f(x)=exists e iii f(a)=lim x a f(x)
o porquê da descontinuidade a partir do gráfico da função ao lado.
Em seguida, justifique por que a função f(x)=raizx-2x-4 não é contínua no ponto x=4, utilizando as hipóteses de continuidade.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa justificar matematicamente por que a função não é contínua no ponto . Para isso, vamos usar as definições de continuidade, que envolvem três partes principais: a existência de , o limite de quando se aproxima de , e a igualdade entre e esse limite. Vamos precisar entender também como calcular limites e verificar a existência das funções nesses pontos.

Passo 2

Vamos começar verificando se f(4) = raiz4 - 24 - 4 = 2 - 20 = 00 existe. Isso significa substituir na função:
Aqui, encontramos uma forma indeterminada , o que significa que não está definida. Portanto, não existe quando .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de limx to 4 raizx - 2x - 4 quando raizx - 2x - 4 cdot raizx + 2raizx + 2 = (raizx)^2 - 2^2(x - 4)(raizx + 2) = x - 4(x - 4)(raizx + 2) = 1raizx + 2 se aproxima de 4:
limx to 4 1raizx + 2 = 12 + 2 = 14
Para resolver esse limite, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador:
Agora, podemos substituir :
Então, o limite existe e vale .

Passo 4

Finalmente, vamos verificar a terceira condição da continuidade: se f(4) não existe e limx to 4 f(x) = 14 . No nosso caso:
ã
Como não existe, não temos igualdade entre e o limite. Portanto, a função não é contínua no ponto .

Resposta

A função não é contínua no ponto porque não existe, enquanto o limite quando se aproxima de 4 é . Como não está definido, não há continuidade nesse ponto.

Exercícios relacionados