Seja x(t) = -t^3 + 7t^2 - 10t para t ∈ [0, 5] a equação do movimento de uma partícula, onde x é medido em centímetros e t em segundos. Determinar a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente está trabalhando com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos corpos. A gente tem a função da posição , onde está em centímetros e em segundos. O objetivo aqui é encontrar a aceleração do corpo nos momentos em que a velocidade é zero. Para isso, vamos precisar calcular derivadas da função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar para encontrar a função da velocidade .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os instantes em que a velocidade é zero. Para isso, vamos resolver a equação :
Vamos resolver essa equação do 2º grau usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Simplificando:
Então temos duas soluções:

Passo 4

Agora que sabemos os instantes em que a velocidade é zero ( s e s), vamos encontrar a aceleração nesses momentos. A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição. Vamos calcular :
Agora, substituímos os valores de :
Para s:
Para s:

Resposta

A aceleração do corpo é aproximadamente quando segundos e quando segundos, nos momentos em que a velocidade é nula.

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