Uma lata cilíndrica é feita para receber um 1 litro, equivalente à . O material da base e da tampa é mais resistente, assim, tem custo R por metro quadrado, o material da lateral custa por metro quadrado. Expresse o custo total para construir a lata em função da variável .
Área

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma lata cilíndrica que precisa comportar 1 litro, que é igual a . A latinha tem duas partes principais: a base e a tampa, que são feitas de um material mais caro (R$ 40,00 por metro quadrado), e a lateral, que usa um material mais barato (R$ 20,00 por metro quadrado). A ideia é descobrir quanto vai custar para fabricar essa lata em função do raio .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume da lata cilíndrica é dado por:
Onde é o volume, é o raio da base e é a altura da lata. Sabemos que , então podemos resolver para :

Passo 3

Agora, vamos calcular as áreas das partes da lata. A base e a tampa são duas áreas circulares, cada uma com área . Então, a área total das duas é:
A lateral da lata é um retângulo que, quando enrolado, forma a superfície lateral do cilindro. A área dessa parte é:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 4

Agora, vamos calcular o custo de cada parte. Primeiro, precisamos converter as áreas de centímetros quadrados para metros quadrados, já que o custo está em R$ por metro quadrado. Sabemos que:
Então, as áreas em metros quadrados são:
²
²

Passo 5

Agora, multiplicamos as áreas pelos respectivos custos:

Passo 6

Somando os custos de todas as partes, temos o custo total :

Resposta

O custo total para construir a lata em função do raio é:

Exercícios relacionados

Seja para a equação do movimento de uma partícula, onde é medido em centímetros e em segundos. Determinar a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula.
Seja para a equação do movimento de uma partícula, onde é medido em centímetros e em segundos. Determinar a aceleração no instante segundo;
Justifique com argumentos matemáticos, ou seja, por meio da definição:
o porquê da descontinuidade a partir do gráfico da função ao lado.
Em seguida, justifique por que a função não é contínua no ponto , utilizando as hipóteses de continuidade.
Seja para a equação do movimento de uma partícula, onde é medido em centímetros e em segundos. Determinar a velocidade no instante segundos;