(Valor 2,5) Os pontos A=(0,0,0), B=(5,1,-1) с C=(1,3,-2) saio vértices do um paralelogramo. Encontre as coordenadas do quarto vértice se o segmento de reta que conecta A a C forma uma diagoual deste paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: , e . A parada aqui é que esses pontos são vértices de um paralelogramo, e queremos encontrar as coordenadas do quarto vértice, que vamos chamar de . A informação importante é que o segmento de reta que liga a é uma das diagonais desse paralelogramo.
Matéria envolvida: Geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente propriedades dos paralelogramos.
O que vamos precisar: Entender que, em um paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, elas cortam-se no ponto médio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade importante dos paralelogramos: as diagonais se cortam exatamente pelo ponto médio. Isso significa que o ponto médio da diagonal M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) será o mesmo que o ponto médio da diagonal .
Fórmula do ponto médio entre dois pontos e :

Passo 3

Vamos calcular o ponto médio da diagonal M = ( 0 + 12, 0 + 32, 0 + (-2)2 ) = (0.5, 1.5, -1) . Usando as coordenadas de e :
Então, o ponto médio é .

Passo 4

Agora, sabemos que esse mesmo ponto M = ( 5 + x2, 1 + y2, -1 + z2 ) também é o ponto médio da diagonal 5 + x2 = 0.5 . Como temos as coordenadas de 1 + y2 = 1.5 e queremos encontrar -1 + z2 = -1 , podemos usar a fórmula do ponto médio para :
E sabemos que . Assim, podemos igualar as componentes correspondentes:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar 5 + x2 = 0.5 5 + x = 1 (mu, 1 + y2 = 1.5 1 + y = 3 (mu e -1 + z2 = -1 -1 + z = -2 (mu:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

O quarto vértice do paralelogramo tem as coordenadas .

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