(Valor 2,5) Os pontos
с
saio vértices do um paralelogramo. Encontre as coordenadas do quarto vértice se o segmento de reta que conecta
a
forma uma diagoual deste paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço:
,
e
. A parada aqui é que esses pontos são vértices de um paralelogramo, e queremos encontrar as coordenadas do quarto vértice, que vamos chamar de
. A informação importante é que o segmento de reta que liga
a
é uma das diagonais desse paralelogramo.
Matéria envolvida: Geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente propriedades dos paralelogramos.
O que vamos precisar: Entender que, em um paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, elas cortam-se no ponto médio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma propriedade importante dos paralelogramos: as diagonais se cortam exatamente pelo ponto médio. Isso significa que o ponto médio da diagonal
será o mesmo que o ponto médio da diagonal
.
Fórmula do ponto médio entre dois pontos
e
:
Passo 3
Vamos calcular o ponto médio da diagonal
. Usando as coordenadas de
e
:
Então, o ponto médio
é
.
Passo 4
Agora, sabemos que esse mesmo ponto
também é o ponto médio da diagonal
. Como temos as coordenadas de
e queremos encontrar
, podemos usar a fórmula do ponto médio para
:
E sabemos que
. Assim, podemos igualar as componentes correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar
,
e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
O quarto vértice
do paralelogramo tem as coordenadas
.
Exercícios relacionados
(Valor 2,5 ) Determine as equaçōes da reta que contém o ponto
e é paralela à reta que contém os pontos
e
.
Justifique, sem fazer contas, porque
não é base de
.
e
.
(Valor 2,5) Sejam
e
vértices de um triângulo. Calcule
de forma que este triângulo seja retângulo em
e encontre sua área (usando vetores).
Sejam
e
ou
, isto é,
é conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira. Mostre que
é um subespaço vetorial do
.