(Valor 2,5 ) Determine as equaçōes da reta que contém o ponto A=(1,5,-2) e é paralela à reta que contém os pontos B=(5,-2,3) e C=(-1,-4,3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar as equações da reta que passa pelo ponto e que é paralela à reta que passa pelos pontos e . Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especialmente sobre como determinar a direção de uma reta e como escrever suas equações paramétricas.

Passo 2

Para encontrar uma reta paralela à reta BC, precisamos primeiro determinar o vetor diretor dessa reta. O vetor diretor é basicamente uma seta que indica a direção da reta e é encontrado subtraindo as coordenadas de dois pontos da reta.
BC = C - B = (-1 - 5, -4 - (-2), 3 - 3) = (-6, -2, 0)
Então, o vetor diretor da reta BC é .

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor, podemos usar as equações paramétricas da reta. Essas equações descrevem qualquer ponto da reta em termos de um parâmetro x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t . A fórmula geral das equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto e tem vetor diretor é:

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde o ponto x = 1 - 6 t y = 5 - 2 t z = -2 + 0 t e o vetor diretor z = -2 , temos:
Simplificando a última equação:
Isso significa que a coordenada permanece constante ao longo da reta.

Passo 5

Portanto, as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto boxed x = 1 - 6 t y = 5 - 2 t z = -2 e é paralela à reta BC são:

Resposta

As equações da reta são:
x = 1 - 6 t y = 5 - 2 t z = -2
onde é um parâmetro real.

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