Justifique que a igualdade sec^2(x) = 1 + tan^2(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a igualdade . Esse exercício está ligado às identidades trigonométricas, que são igualdades que envolvem funções trigonométricas e são verdadeiras para todos os valores das variáveis onde as funções estão definidas. Para resolver, vamos precisar lembrar da definição de sec(x) e tan(x), além de algumas identidades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significam sec(x) e tan(x). Sabemos que:
Isso nos ajuda a expressar essas funções em termos de seno e cosseno, que são fundamentais nas identidades trigonométricas.

Passo 3

Agora, vamos elevar sec(x) ao quadrado:
Da mesma forma, vamos elevar tan(x) ao quadrado:

Passo 4

Substituindo essas expressões na igualdade que queremos justificar:
Agora, vamos trabalhar com o lado direito da igualdade para ver se chegamos ao lado esquerdo.

Passo 5

Vamos somar os termos no lado direito:
Aqui, usamos o fato de que para ter um denominador comum.

Passo 6

Sabemos que , que é a identidade pitagórica fundamental das trigonometria. Então:
E isso é exatamente igual a .

Resposta

Assim, mostramos que é uma identidade verdadeira.

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