Justifique que a igualdade
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a igualdade
. Esse exercício está ligado às identidades trigonométricas, que são igualdades que envolvem funções trigonométricas e são verdadeiras para todos os valores das variáveis onde as funções estão definidas. Para resolver, vamos precisar lembrar da definição de
e
, além de algumas identidades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significam
e
. Sabemos que:
Isso nos ajuda a expressar essas funções em termos de seno e cosseno, que são fundamentais nas identidades trigonométricas.
Passo 3
Agora, vamos elevar
ao quadrado:
Da mesma forma, vamos elevar
ao quadrado:
Passo 4
Substituindo essas expressões na igualdade que queremos justificar:
Agora, vamos trabalhar com o lado direito da igualdade para ver se chegamos ao lado esquerdo.
Passo 5
Vamos somar os termos no lado direito:
Aqui, usamos o fato de que
para ter um denominador comum.
Passo 6
Sabemos que
, que é a identidade pitagórica fundamental das trigonometria. Então:
E isso é exatamente igual a
.
Resposta
Assim, mostramos que
é uma identidade verdadeira.