Resolver os sistemas abaixo pela Regra de Cramer
cx+y+z=2 x-y+z=0 y+2 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A matéria aqui é álgebra linear, e vamos precisar trabalhar com determinantes de matrizes para achar as soluções para as variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os números que estão na frente das variáveis nas equações:
A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz a & b & cd & e & fg & h & i, que é uma forma de verificar se o sistema tem uma única solução. O determinante de uma matriz 3x3 det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é calculado assim:
det(A) = 1((-1)(2) - (1)(1)) - 1(1 cdot 2 - 1 cdot 0) + 1(1 cdot 1 - (-1) cdot 0)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1(-2 - 1) - 1(2 - 0) + 1(1 - 0)
det(A) = 1(-3) - 1(2) + 1(1) = -3 - 2 + 1 = -4

Passo 4

Como o determinante B = 2 0 0 é diferente de zero ( Ax = 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 0 & 1 & 2 ), o sistema tem uma única solução. Agora, vamos encontrar as soluções para det(Ax) = 2((-1)(2) - (1)(1)) - 1(0 cdot 2 - 1 cdot 0) + 1(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) , det(Ax) = 2(-2 -1) - 1(0 - 0) + 1(0 - 0) = 2(-3) = -6 e Ay = 1 & 2 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 usando a Regra de Cramer. Para cada variável, substituímos a coluna correspondente na matriz det(Ay) = 1(0 cdot 2 - 1 cdot 0) - 2(1 cdot 2 - 1 cdot 0) + 1(1 cdot 0 - 0 cdot 0) pela matriz dos termos constantes do sistema.
A matriz dos termos constantes é:
det(Ay) = 1(0 - 0) - 2(2 - 0) + 1(0 - 0) = -4
Para Az = 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 :
Substituímos a primeira coluna de det(Az) = 1((-1)(0) - (1)(1)) - 1(1 cdot 0 - 0 cdot 0) + 2(1 cdot 1 - (-1) cdot 0) por det(Az) = 1(0 -1) - 1(0 - 0) + 2(1 - 0) = -1 + 0 + 2 = 1 :
Calculamos :
Para :
Substituímos a segunda coluna de por :
Calculamos :
Para :
Substituímos a terceira coluna de por :
Calculamos :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = det(Ax)det(A) = -6-4 = 1.5
y = det(Ay)det(A) = -4-4 = 1
z = det(Az)det(A) = 1-4 = -0.25
Então, , e .

Exercícios relacionados