Justifique, com rigor matemático, que a função f(x) = sen(x) + 1/2 tem raíz.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função e precisa mostrar, de maneira rigorosa, que ela tem pelo menos uma raiz. Isso significa encontrar um valor de tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise matemática, especificamente o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma raiz de uma função. Uma raiz é um ponto onde a função cruza o eixo , ou seja, onde .

Passo 3

Agora, olhemos para o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo e é um número entre e , então existe pelo menos um em tal que .

Passo 4

A função é uma função contínua para todo , e a soma de uma função contínua com uma constante ( ) também é contínua. Portanto, é contínua em qualquer intervalo escolhido.

Passo 5

Vamos escolher um intervalo específico para aplicar o teorema. Por exemplo, vamos considerar e .
  • Em :
  • Em :
Hmm, nesse caso, o valor em ambos os pontos é , o que não nos ajuda a encontrar onde a função cruza zero. Vamos tentar outro intervalo.

Passo 6

Vamos escolher e .
  • Em :
  • Em :

Passo 7

Agora, vemos que e . O valor zero está entre esses dois resultados.

Passo 8

Como a função é contínua no intervalo e o valor zero está entre e , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um nesse intervalo tal que .

Resposta

Portanto, a função possui pelo menos uma raiz no intervalo .

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