Justifique, com rigor matemático, que a função
tem raíz.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função
e precisa mostrar, de maneira rigorosa, que ela tem pelo menos uma raiz. Isso significa encontrar um valor de
tal que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise matemática, especificamente o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma raiz de uma função. Uma raiz é um ponto onde a função cruza o eixo
, ou seja, onde
.
Passo 3
Agora, olhemos para o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função
é contínua em um intervalo
e
é um número entre
e
, então existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 4
A função
é uma função contínua para todo
, e a soma de uma função contínua com uma constante (
) também é contínua. Portanto,
é contínua em qualquer intervalo escolhido.
Passo 5
Vamos escolher um intervalo específico para aplicar o teorema. Por exemplo, vamos considerar
e
.
-
Em
: -
Em
:
Hmm, nesse caso, o valor em ambos os pontos é
, o que não nos ajuda a encontrar onde a função cruza zero. Vamos tentar outro intervalo.
Passo 6
Vamos escolher
e
.
-
Em
: -
Em
:
Passo 7
Agora, vemos que
e
. O valor zero está entre esses dois resultados.
Passo 8
Como a função
é contínua no intervalo
e o valor zero está entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
nesse intervalo tal que
.
Resposta
Portanto, a função
possui pelo menos uma raiz no intervalo
.
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;
.
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