(2,0 pontos) Obtenha a série de Taylor para a função
f(x) = x / raiz(3)(1 + x^2)
em torno de x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função em torno de . Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e manipulação de séries conhecidas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de é também chamada de série de Maclaurin. Para encontrar essa série, a gente pode manipular séries que já conhecemos. Observando a função , percebemos que podemos reescrever o denominador como uma potência: .

Passo 3

Sabemos que a série de binômio para é dada por:
onde é o coeficiente binomial definido por:
Nesse caso, e .

Passo 4

Vamos aplicar a série de binômio à nossa função:
Multiplicando pela que está no numerador, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os primeiros termos da série para termos uma ideia de como fica:
Para :
Para :
Para :
E assim por diante. A série completa fica:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

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