(2,0 pontos) Obtenha a série de Taylor para a função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de Taylor e manipulação de séries conhecidas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de
é também chamada de série de Maclaurin. Para encontrar essa série, a gente pode manipular séries que já conhecemos. Observando a função
, percebemos que podemos reescrever o denominador como uma potência:
.
Passo 3
Sabemos que a série de binômio para
é dada por:
onde
é o coeficiente binomial definido por:
Nesse caso,
e
.
Passo 4
Vamos aplicar a série de binômio à nossa função:
Multiplicando pela
que está no numerador, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os primeiros termos da série para termos uma ideia de como fica:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. A série completa fica:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto com coordenada
igual a 2.
Justifique, com rigor matemático, que a função
tem raíz.
Calcule as funções derivadas das seguintes funções:
(2,0 pontos) Encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
(b) .
(b)