Justifique se são verdadeiras ou falsas as proposições seguintes:
c) O produto de um número irracional por um número racional não inteiro pode ser racional.
c) O produto de um número irracional por um número racional não inteiro pode ser racional.
Passo 1
Então, o que a questão está pedindo? Estamos verificando se a afirmação “O produto de um número irracional por um número racional não inteiro pode ser racional” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números racionais e irracionais, e como a multiplicação entre eles funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são números racionais e irracionais. Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
não é zero. Exemplos de números racionais são
,
(que pode ser visto como
) e
.
Já um número irracional é um número que não pode ser escrito dessa forma, ou seja, não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros. Exemplos de números irracionais são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a multiplicação entre esses tipos de números. Se multiplicarmos um número irracional por um número racional diferente de zero, o resultado geralmente é irracional. Isso porque não existe uma fração que possa simplificar a irracionalidade para tornar o produto racional.
Vamos pensar em um exemplo: se multiplicarmos
(irracional) por
(racional não inteiro), o resultado será
, que continua sendo irracional.
Passo 4
Para que o produto fosse racional, precisaríamos que o número irracional “seanule” ou se transforme de alguma forma através da multiplicação. Porém, como vimos, isso não acontece quando o número racional não é zero. E como a proposição especifica que o número racional não é inteiro (ou seja, diferente de zero), não temos essa possibilidade.
Resposta
FALSA. O produto de um número irracional por um número racional não inteiro não pode ser racional.
Exercícios relacionados
Dados dois números naturais
, definimos intuitivamente, a multiplicação
, como sendo a soma de n com n , um número m de vezes. Onde
. Calcule:
b)
b)
a) Calcule
e interprete geometricamente esta soma. O que ela significa?
Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
.
b) Determine uma fórmula para , e calcule, com o auxilio de uma calculadora
.
b) Determine uma fórmula para
Seja
, com
e a sequência de termo geral
, sendo
.
b) Determine uma fórmula para , e calcule, com o auxilio de uma calculadora
.
b) Determine uma fórmula para