Seja f(x)=x^2, com x in[0,1] e a sequência de termo geral sn=sumi=1^n f(in) cdot De, sendo De.
b) Determine uma fórmula para sn, e calcule, com o auxilio de uma calculadora s300.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função sn = sumi=1^n f(in) cdot De definida no intervalo . O exercício pede para a gente encontrar uma fórmula para a sequência , que é dada por:
onde . O conteúdo aqui envolve somas de Riemann, que são usadas para aproximar integrais. Vamos precisar entender como somar termos dessa forma e aplicar fórmulas de soma de quadrados para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sn = sumi=1^n (in)^2 cdot 1n na expressão de sn = 1n^3 sumi=1^n i^2 :
sumi=1^n i^2 = n(n + 1)(2n + 1)6
Simplificando, ficamos com:
sn = 1n^3 cdot n(n + 1)(2n + 1)6 = (n + 1)(2n + 1)6n^2
Agora, precisamos calcular a soma dos quadrados dos primeiros sn = (n + 1)(2n + 1)6n^2 números naturais. A fórmula para isso é:
Substituindo essa fórmula na expressão de :
Então, a fórmula simplificada para é:

Passo 3

Agora, vamos calcular s300 = (300 + 1)(2 cdot 300 + 1)6 cdot 300^2 . Basta substituir s300 = 301 times 601540000 na fórmula que encontramos:
301 times 601 = 180,901
Calculando passo a passo:
  1. s300 = 180,901540,000 approx 0,335
Agora, substituindo esses valores:
Calculando o numerador:
Então:

Resposta

A fórmula para é e, calculando para , temos .

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