Suponha que falte 1 hora para um estudante fazer um exame e durante esse tempo ele deseja memorizar um conjunto de 60 fatos. De acordo com os psicólogos, a taxa segundo a qual uma pessoa pode memorizar um conjunto de fatos é proporcional ao número de fatos que restam para serem momorizados. Suponha que inicialmente nenhum fato tenha sido memorizado. Se o estudante memoriza 20 fatos nos primeiros 20 minutos, ele conseguirá memorizar todos os fatos até a hora da prova?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um estudante que tem 1 hora (60 minutos) para memorizar 60 fatos antes do exame. A taxa na qual ele consegue memorizar os fatos depende de quantos ainda faltam para memorizar. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente uma equação diferencial que relaciona a taxa de memorização com a quantidade de fatos restantes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas coisas:
- F é o total de fatos que ele precisa memorizar, que são 60.
- f(t) é a quantidade de fatos que ele já memorizou até o tempo t.
- df/dt representa a taxa de memorização, ou seja, como a quantidade de fatos memorizados está mudando com o tempo.
O enunciado diz que a taxa de memorização é proporcional ao número de fatos que ainda faltam para memorizar. Isso pode ser escrito como:
Onde k é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que no início (quando t = 0), o estudante não memorizou nenhum fato, ou seja, f(0) = 0.
E também sabemos que nos primeiros 20 minutos (t = 20), ele memorizou 20 fatos, então f(20) = 20.
Vamos usar essas informações para encontrar a constante k.
Passo 4
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear e podemos resolvê-la separando as variáveis. Reescrevendo:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Podemos reescrever isso para resolver f(t):
Exponenciando ambos os lados:
Onde A = e^{C’}. Agora, isolamos f(t):
Passo 5
Usando a condição inicial f(0) = 0:
Então, a função fica:
Passo 6
Agora, usamos a segunda condição f(20) = 20 para encontrar k:
Dividindo os dois lados por 60:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para k:
Passo 7
Agora que temos k, podemos escrever a função que descreve quantos fatos ele memorizou até o tempo t:
Queremos saber se ele consegue memorizar todos os 60 fatos em 60 minutos, ou seja, se f(60) = 60.
Vamos calcular:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
Não, o estudante só conseguirá memorizar aproximadamente 42 fatos até a hora da prova.