Suponha que falte 1 hora para um estudante fazer um exame e durante esse tempo ele deseja memorizar um conjunto de 60 fatos. De acordo com os psicólogos, a taxa segundo a qual uma pessoa pode memorizar um conjunto de fatos é proporcional ao número de fatos que restam para serem momorizados. Suponha que inicialmente nenhum fato tenha sido memorizado. Se o estudante memoriza 20 fatos nos primeiros 20 minutos, ele conseguirá memorizar todos os fatos até a hora da prova?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um estudante que tem 1 hora (60 minutos) para memorizar 60 fatos antes do exame. A taxa na qual ele consegue memorizar os fatos depende de quantos ainda faltam para memorizar. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente uma equação diferencial que relaciona a taxa de memorização com a quantidade de fatos restantes.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas coisas:
  • F é o total de fatos que ele precisa memorizar, que são 60.
  • f(t) é a quantidade de fatos que ele já memorizou até o tempo t.
  • df/dt representa a taxa de memorização, ou seja, como a quantidade de fatos memorizados está mudando com o tempo.
O enunciado diz que a taxa de memorização é proporcional ao número de fatos que ainda faltam para memorizar. Isso pode ser escrito como:
Onde k é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que no início (quando t = 0), o estudante não memorizou nenhum fato, ou seja, f(0) = 0.
E também sabemos que nos primeiros 20 minutos (t = 20), ele memorizou 20 fatos, então f(20) = 20.
Vamos usar essas informações para encontrar a constante k.

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear e podemos resolvê-la separando as variáveis. Reescrevendo:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Podemos reescrever isso para resolver f(t):
Exponenciando ambos os lados:
Onde A = e^{C’}. Agora, isolamos f(t):

Passo 5

Usando a condição inicial f(0) = 0:
Então, a função fica:

Passo 6

Agora, usamos a segunda condição f(20) = 20 para encontrar k:
Dividindo os dois lados por 60:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para k:

Passo 7

Agora que temos k, podemos escrever a função que descreve quantos fatos ele memorizou até o tempo t:
Queremos saber se ele consegue memorizar todos os 60 fatos em 60 minutos, ou seja, se f(60) = 60.
Vamos calcular:
Calculando o expoente:
Então:

Resposta

Não, o estudante só conseguirá memorizar aproximadamente 42 fatos até a hora da prova.

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