Seja uma função vetorial e um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A questão pede para a gente analisar se a expressão faz sentido, onde é uma função vetorial e é um campo vetorial. O conteúdo envolvido aqui é o de cálculo vetorial, especificamente o operador divergente. Vamos precisar saber o que é divergente e em que contexto ele pode ser aplicado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o operador divergente, representado por . O divergente é uma operação que atua sobre campos vetoriais e mede a “taxa de variação” do campo em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo vetorial , o divergente é dado por:
Esse resultado é um campo escalar, ou seja, atribui um número real a cada ponto do espaço.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Aqui, é uma função escalar, não um campo vetorial. Pelo que vimos no passo anterior, o divergente só pode ser aplicado a campos vetoriais, pois ele envolve derivadas parciais das componentes vetoriais.

Passo 4

Aplicar o divergente a uma função escalar não faz sentido dentro da definição padrão do operador divergente. Não temos componentes vetoriais sobre as quais calcular as derivadas parciais necessárias. Portanto, não é uma expressão válida.

Resposta

A expressão não tem significado porque o operador divergente só pode ser aplicado a campos vetoriais, não a funções escalares.

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( ) converge para