Seja
uma função vetorial e
um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. A questão pede para a gente analisar se a expressão
faz sentido, onde
é uma função vetorial e
é um campo vetorial. O conteúdo envolvido aqui é o de cálculo vetorial, especificamente o operador divergente. Vamos precisar saber o que é divergente e em que contexto ele pode ser aplicado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o operador divergente, representado por
. O divergente é uma operação que atua sobre campos vetoriais e mede a “taxa de variação” do campo em torno de um ponto. Matematicamente, para um campo vetorial
, o divergente é dado por:
Esse resultado é um campo escalar, ou seja, atribui um número real a cada ponto do espaço.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Aqui,
é uma função escalar, não um campo vetorial. Pelo que vimos no passo anterior, o divergente só pode ser aplicado a campos vetoriais, pois ele envolve derivadas parciais das componentes vetoriais.
Passo 4
Aplicar o divergente a uma função escalar não faz sentido dentro da definição padrão do operador divergente. Não temos componentes vetoriais sobre as quais calcular as derivadas parciais necessárias. Portanto,
não é uma expressão válida.
Resposta
A expressão
não tem significado porque o operador divergente só pode ser aplicado a campos vetoriais, não a funções escalares.
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um campo vetorial. Diga se cada expressão abaixo tem significado. Em caso negativo, justifique sua resposta, em caso afirmativo, diga se o resultado é um campo vetorial ou escalar.
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Se
for um número inteiro positivo, encontre o raio de convergência da série
(a) A série geométrica
( ) converge para
( ) converge para