Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a) w in Lu, v se, e somente se, u, v, w é LD.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre vetores e combinações lineares. Especificamente, queremos verificar se a afirmação “O vetor está no espaço gerado por e se, e somente se, o conjunto é linearmente dependente” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa w = au + bv . Isso quer dizer que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e . Em outras palavras, existe escalares e tais que:
Isso é o que define que está no espaço gerado por e .

Passo 3

Agora, vamos ver o que significa o conjunto c1u + c2v + c3w = 0 ser linearmente dependente (LD). Isso quer dizer que existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero:
onde pelo menos um dos coeficientes é diferente de zero.

Passo 4

Vamos provar a afirmação “se e somente se”. Primeiro, assumiremos que c1u + c2v + c3(au + bv) = 0 está no espaço gerado por (c1 + a c3)u + (c2 + b c3)v = 0 e c1 + a c3 = 0 c2 + b c3 = 0 . Ou seja, existe c1 = -a c2 = -b e tais que .
Substituindo isso na combinação linear, temos:
Simplificando:
Para que isso seja válido, os coeficientes devem ser zero:
Podemos escolher , então:
Portanto, existe uma combinação não trivial que torna o conjunto LD.

Passo 5

Agora, vamos provar o contrário: se o conjunto c1u + c2v + c3w = 0 é LD, então w = -c1c3u - c2c3v está no espaço gerado por e .
Como o conjunto é LD, existe uma combinação linear não trivial:
Sem perda de generalidade, podemos assumir que . Então, podemos isolar :
Isso mostra que é uma combinação linear de e , ou seja, .

Resposta

Verdadeira. A afirmação está correta e foi comprovada através das duas direções.

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