Verifique se a afirmação é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(a)
se, e somente se,
é LD.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre vetores e combinações lineares. Especificamente, queremos verificar se a afirmação “O vetor
está no espaço gerado por
e
se, e somente se, o conjunto
é linearmente dependente” é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é combinação linear e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
. Em outras palavras, existe escalares
e
tais que:
Isso é o que define que
está no espaço gerado por
e
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que significa o conjunto
ser linearmente dependente (LD). Isso quer dizer que existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero:
onde pelo menos um dos coeficientes
é diferente de zero.
Passo 4
Vamos provar a afirmação “se e somente se”. Primeiro, assumiremos que
está no espaço gerado por
e
. Ou seja, existe
e
tais que
.
Substituindo isso na combinação linear, temos:
Simplificando:
Para que isso seja válido, os coeficientes devem ser zero:
Podemos escolher
, então:
Portanto, existe uma combinação não trivial que torna o conjunto LD.
Passo 5
Agora, vamos provar o contrário: se o conjunto
é LD, então
está no espaço gerado por
e
.
Como o conjunto é LD, existe uma combinação linear não trivial:
Sem perda de generalidade, podemos assumir que
. Então, podemos isolar
:
Isso mostra que
é uma combinação linear de
e
, ou seja,
.
Resposta
Verdadeira. A afirmação está correta e foi comprovada através das duas direções.