(k) lim n +infty(n+4n+7)^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites de funções que envolvem potências, então vamos usar conhecimentos de cálculo de limites e propriedades de exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm o termo n + 4n + 7 = n(1 + 4n)n(1 + 7n) = 1 + 4n1 + 7n . Podemos reescrever a fração dividindo cada termo por :

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando limn to infty 1 + 4n1 + 7n = 1 + 01 + 0 = 1 tende ao infinito. Quando fica muito grande, os termos e ficam bem pequenos, ou seja, tendem a zero. Então, temos:

Passo 4

Mas estamos lidando com a expressão (1 + 4n1 + 7n)^n = (1 + 4 - 7n + 7)^n = (1 - 3n + 7)^n , que agora podemos reescrever como:

Passo 5

Sabemos que há uma fórmula importante para limites desse tipo:
limn to infty (1 + an)^n = e^a
Nesse caso, temos algo parecido com limn to infty (1 - 3n + 7)^n = e^-3 , então aplicando essa fórmula:

Resposta

Portanto, o limite é .

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