Se X ⊆ R é aberto (respectivamente, fechado) e X = A ∪ B é uma cisão, prove que A e B são abertos (respectivamente, fechados).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que é um subconjunto dos números reais . Esse conjunto é aberto (ou, respectivamente, fechado). Além disso, é dividido em dois subconjuntos e de forma que e e não têm elementos em comum (isso é o que significa a “cisão” ou união disjunta). A nossa tarefa é provar que, se é aberto, então e também são abertos (e, se é fechado, e também são fechados). Para isso, vamos precisar entender os conceitos de conjuntos abertos e fechados, além de utilizar propriedades de união e interseção de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso em que é um conjunto aberto. Por definição, um conjunto aberto em é aquele em que, para cada ponto em , existe um intervalo aberto ao redor de que está completamente contido em .

Passo 3

Como e e são disjuntos, qualquer ponto em pertence ou a ou a . Vamos supor que está em . Como é aberto, existe um intervalo aberto ao redor de que está dentro de . Mas, como está em , esse intervalo também deve estar dentro de , caso contrário, haveria pontos nesse intervalo que pertencem a , o que violaria a disjunção.

Passo 4

Portanto, para cada ponto em , existe um intervalo aberto ao redor de que está totalmente dentro de . Isso significa que é um conjunto aberto. O mesmo raciocínio vale para . Assim, se é aberto, tanto quanto são abertos.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso em que é um conjunto fechado. Por definição, um conjunto fechado em é aquele que contém todos os seus pontos de limite, ou seja, é o complemento de um conjunto aberto.

Passo 6

Novamente, como e e são disjuntos, vamos analisar os complementos. O complemento de é a união dos complementos de e , ou seja, . Como é fechado, seus complementos são abertos.

Passo 7

Para ser fechado, seu complemento deve ser aberto. Mas sabemos que é aberto, e interseções de conjuntos abertos são abertas. Portanto, e são abertos, o que implica que e são fechados.

Resposta

Assim, comprovamos que se é aberto (respectivamente, fechado) e é uma cisão, então e são abertos (respectivamente, fechados).

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