Se
é aberto (respectivamente, fechado) e
é uma cisão, prove que
e
são abertos (respectivamente, fechados).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que é um subconjunto dos números reais
. Esse conjunto
é aberto (ou, respectivamente, fechado). Além disso,
é dividido em dois subconjuntos
e
de forma que
e
e
não têm elementos em comum (isso é o que significa a “cisão” ou união disjunta). A nossa tarefa é provar que, se
é aberto, então
e
também são abertos (e, se
é fechado,
e
também são fechados). Para isso, vamos precisar entender os conceitos de conjuntos abertos e fechados, além de utilizar propriedades de união e interseção de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caso em que
é um conjunto aberto. Por definição, um conjunto aberto em
é aquele em que, para cada ponto
em
, existe um intervalo aberto ao redor de
que está completamente contido em
.
Passo 3
Como
e
e
são disjuntos, qualquer ponto
em
pertence ou a
ou a
. Vamos supor que
está em
. Como
é aberto, existe um intervalo aberto ao redor de
que está dentro de
. Mas, como
está em
, esse intervalo também deve estar dentro de
, caso contrário, haveria pontos nesse intervalo que pertencem a
, o que violaria a disjunção.
Passo 4
Portanto, para cada ponto
em
, existe um intervalo aberto ao redor de
que está totalmente dentro de
. Isso significa que
é um conjunto aberto. O mesmo raciocínio vale para
. Assim, se
é aberto, tanto
quanto
são abertos.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso em que
é um conjunto fechado. Por definição, um conjunto fechado em
é aquele que contém todos os seus pontos de limite, ou seja, é o complemento de um conjunto aberto.
Passo 6
Novamente, como
e
e
são disjuntos, vamos analisar os complementos. O complemento de
é a união dos complementos de
e
, ou seja,
. Como
é fechado, seus complementos são abertos.
Passo 7
Para
ser fechado, seu complemento
deve ser aberto. Mas sabemos que
é aberto, e interseções de conjuntos abertos são abertas. Portanto,
e
são abertos, o que implica que
e
são fechados.
Resposta
Assim, comprovamos que se
é aberto (respectivamente, fechado) e
é uma cisão, então
e
são abertos (respectivamente, fechados).
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