Prove que toda coleção de intervalos não degenerados dois a d é enumerável.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para provar que toda coleção de intervalos não degenerados dois a d é enumerável. Isso envolve conceitos de teoria dos conjuntos e análise matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma coleção enumerável e o que são intervalos não degenerados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma coleção ser enumerável. Uma coleção é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma lista, ou seja, podemos associar cada elemento a um número natural. Isso inclui tanto conjuntos finitos quanto infinitos contáveis.

Passo 3

Agora, o que são intervalos não degenerados? Em termos simples, um intervalo não degenerado é aquele que tem comprimento positivo. Por exemplo, em , o intervalo é não degenerado se .

Passo 4

Vamos considerar a coleção de todos esses intervalos não degenerados em , onde é a dimensão do espaço. Nosso objetivo é mostrar que essa coleção é enumerável, ou seja, podemos listar todos esses intervalos de forma que cada um tenha um número natural associado.

Passo 5

Para provar que a coleção é enumerável, vamos usar o fato de que é um espaço separável, o que significa que existe um conjunto denso e enumerável nele. Geralmente, usamos os números racionais para isso, já que são contáveis e densos em .

Passo 6

Cada intervalo não degenerado em pode ser descrito por seus extremos. Como estamos usando para aproximar os extremos, podemos associar cada intervalo a uma tupla de números racionais que representam esses extremos.

Passo 7

Como é contável (produto finito de conjuntos contáveis continua sendo contável), e cada intervalo pode ser mapeado para uma tupla em , concluímos que a coleção de todos esses intervalos também é contável.

Passo 8

Portanto, mostramos que é possível listar todos os intervalos não degenerados usando números racionais, o que prova que a coleção é enumerável.

Resposta

Toda coleção de intervalos não degenerados em é enumerável porque podemos associar cada intervalo a uma tupla de números racionais, e como o conjunto de tais tuplas é contável, a coleção de intervalos tamb��m é contável.

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