Prove que toda coleção de intervalos não degenerados dois a d é enumerável.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para provar que toda coleção de intervalos não degenerados dois a d é enumerável. Isso envolve conceitos de teoria dos conjuntos e análise matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma coleção enumerável e o que são intervalos não degenerados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma coleção ser enumerável. Uma coleção é enumerável se seus elementos podem ser colocados em uma lista, ou seja, podemos associar cada elemento a um número natural. Isso inclui tanto conjuntos finitos quanto infinitos contáveis.
Passo 3
Agora, o que são intervalos não degenerados? Em termos simples, um intervalo não degenerado é aquele que tem comprimento positivo. Por exemplo, em
, o intervalo
é não degenerado se
.
Passo 4
Vamos considerar a coleção de todos esses intervalos não degenerados em
, onde
é a dimensão do espaço. Nosso objetivo é mostrar que essa coleção é enumerável, ou seja, podemos listar todos esses intervalos de forma que cada um tenha um número natural associado.
Passo 5
Para provar que a coleção é enumerável, vamos usar o fato de que
é um espaço separável, o que significa que existe um conjunto denso e enumerável nele. Geralmente, usamos os números racionais
para isso, já que são contáveis e densos em
.
Passo 6
Cada intervalo não degenerado em
pode ser descrito por seus extremos. Como estamos usando
para aproximar os extremos, podemos associar cada intervalo a uma tupla de números racionais que representam esses extremos.
Passo 7
Como
é contável (produto finito de conjuntos contáveis continua sendo contável), e cada intervalo pode ser mapeado para uma tupla em
, concluímos que a coleção de todos esses intervalos também é contável.
Passo 8
Portanto, mostramos que é possível listar todos os intervalos não degenerados usando números racionais, o que prova que a coleção é enumerável.
Resposta
Toda coleção de intervalos não degenerados em
é enumerável porque podemos associar cada intervalo a uma tupla de números racionais, e como o conjunto de tais tuplas é contável, a coleção de intervalos tamb��m é contável.
Exercícios relacionados
Se
é aberto (respectivamente, fechado) e
é uma cisão, prove que
e
são abertos (respectivamente, fechados).
(k)
.
(n)
.
(v)
.