o) lim x 0 x sin x1-cos x

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da função . Isso está relacionado ao conteúdo de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções seno e cosseno se comportam perto de 0 e possivelmente usar algumas regras de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando se aproxima de 0:
  • Numerador:
  • Denominador:
Quando tende a 0:
  • tende a 0 porque o seno de 0 é 0.
  • tende a 1 porque o cosseno de 0 é 1.
Então, também tende a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma ddx(x sin x) = sin x + x cos x ou ddx(1 - cos x) = sin x , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Vamos aplicar isso:
  • Derivada do numerador :
    Usamos a regra do produto:
  • Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas no limite:
limx to 0 sin x + x cos xsin x
Vamos simplificar dividindo cada termo do numerador por limx to 0 ( sin xsin x + x cos xsin x ) = limx to 0 ( 1 + x cot x ) :
limx to 0 ( 1 + x cdot cos xsin x )
Sabemos que , então:

Passo 5

Observamos que limx to 0 ( 1 + cos x cdot xsin x ) = 1 + cos 0 cdot 1 = 1 + 1 cdot 1 = 2 tende a 1 quando tende a 0. Isso implica que também tende a 1. Então, podemos reescrever a expressão:

Resposta

O limite é igual a 2.

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