o)
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções seno e cosseno se comportam perto de 0 e possivelmente usar algumas regras de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0:
- Numerador:
- Denominador:
Quando
tende a 0:
-
tende a 0 porque o seno de 0 é 0. -
tende a 1 porque o cosseno de 0 é 1.
Então,
também tende a 0. Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Vamos aplicar isso:
-
Derivada do numerador
: Usamos a regra do produto: -
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Vamos simplificar dividindo cada termo do numerador por
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Observamos que
tende a 1 quando
tende a 0. Isso implica que
também tende a 1. Então, podemos reescrever a expressão:
Resposta
O limite é igual a 2.
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k)
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