(k) Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais são inversíveis e quais são não inversíveis. Para os sistemas inversíveis, determine a relação entrada-saída do sistema inverso: (i) y(t) =d x(t) / d t e(i i) y(t)=x(3 t-6) e(i i) y(t)=t^* x(t-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar três sistemas descritos por equações diferentes. Nosso objetivo é descobrir quais desses sistemas são inversíveis (ou seja, se dá para reverter o processo e encontrar a entrada a partir da saída) e quais não são. Para os que são inversíveis, também precisamos encontrar como seria o sistema inverso. Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares, diferenciação, transformações de tempo e como elas afetam a invertibilidade.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro sistema:
(i) x(t) = integral y(t) dt + C
Aqui, a saída é a derivada da entrada . Para saber se é inversível, precisamos ver se conseguimos recuperar a partir de . Sabemos que a operação inversa da derivada é a integração. Então, se integrarmos , temos:
Onde é uma constante de integração. O problema é que sem conhecer , não conseguimos determinar exatamente. Isso significa que, em geral, esse sistema não é inversível, porque falta essa informação adicional para reverter a operação.

Passo 3

Agora vamos para o segundo sistema:
(ii) 3t = tau + 6
Aqui, a saída t = tau + 63 é a entrada x(t) = y(t + 63) avaliada em x(t) = y(t + 63) . Para verificar a invertibilidade, queremos expressar em termos de . Vamos resolver para :
Primeiro, definimos uma nova variável tal que . Queremos expressar em função de :
Agora, substituindo por , temos:
Então, o sistema inverso é:
Como conseguimos expressar em termos de de forma única, o sistema é inversível.

Passo 4

Por último, vamos analisar o terceiro sistema:
(iii) x(t - 2) = y(t)t^*
Assumindo que x(t) = y(t + 2)(t + 2)^* representa uma função que multiplica . Para determinar se é inversível, tentamos expressar em função de . Vamos rearranjar a equação:
Se for uma função não nula para todos os , então podemos inverter o sistema. No entanto, se for zero para algum , a inversão não seria possível nesses pontos. Além disso, se introduz alguma transformação que não pode ser revertida de forma única, o sistema pode não ser inversível. Sem mais informações sobre , não podemos garantir que o sistema é inversível.

Resposta

(i) & Não é inversível (ii) & É inversível, com o sistema inverso dado por x(t) = y(t + 63) (iii) & Pode não ser inversível dependendo da função t^* ãéíÉíãíçã

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