(k) Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, determine quais são inversíveis e quais são não inversíveis. Para os sistemas inversíveis, determine a relação entrada-saída do sistema inverso: (i) y(t)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar três sistemas descritos por equações diferentes. Nosso objetivo é descobrir quais desses sistemas são inversíveis (ou seja, se dá para reverter o processo e encontrar a entrada a partir da saída) e quais não são. Para os que são inversíveis, também precisamos encontrar como seria o sistema inverso. Vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares, diferenciação, transformações de tempo e como elas afetam a invertibilidade.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro sistema:
(i)
Aqui, a saída
é a derivada da entrada
. Para saber se é inversível, precisamos ver se conseguimos recuperar
a partir de
. Sabemos que a operação inversa da derivada é a integração. Então, se integrarmos
, temos:
Onde
é uma constante de integração. O problema é que sem conhecer
, não conseguimos determinar
exatamente. Isso significa que, em geral, esse sistema não é inversível, porque falta essa informação adicional para reverter a operação.
Passo 3
Agora vamos para o segundo sistema:
(ii)
Aqui, a saída
é a entrada
avaliada em
. Para verificar a invertibilidade, queremos expressar
em termos de
. Vamos resolver para
:
Primeiro, definimos uma nova variável
tal que
. Queremos expressar
em função de
:
Agora, substituindo
por
, temos:
Então, o sistema inverso é:
Como conseguimos expressar
em termos de
de forma única, o sistema é inversível.
Passo 4
Por último, vamos analisar o terceiro sistema:
(iii)
Assumindo que
representa uma função que multiplica
. Para determinar se é inversível, tentamos expressar
em função de
. Vamos rearranjar a equação:
Se
for uma função não nula para todos os
, então podemos inverter o sistema. No entanto, se
for zero para algum
, a inversão não seria possível nesses pontos. Além disso, se
introduz alguma transformação que não pode ser revertida de forma única, o sistema pode não ser inversível. Sem mais informações sobre
, não podemos garantir que o sistema é inversível.