(k) Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada e saída , determine quais são inversíveis e quais são não inversíveis. Para os sistemas inversíveis, determine a relação entrada-saída do sistema inverso: (i) y(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar três sistemas descritos por equações diferentes. Nosso objetivo é descobrir quais desses sistemas são **inversíveis** (ou seja, se dá para reverter o processo e encontrar a entrada a partir da saída) e quais não são. Para os que são inversíveis, também precisamos encontrar como seria o sistema inverso. Vamos precisar entender um pouco sobre **sistemas lineares**, **diferenciação**, **transformações de tempo** e como elas afetam a invertibilidade.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro sistema: **(i) ** Aqui, a saída é a derivada da entrada . Para saber se é inversível, precisamos ver se conseguimos recuperar a partir de . Sabemos que a operação inversa da derivada é a **integração**. Então, se integrarmos , temos: Onde é uma constante de integração. O problema é que sem conhecer , não conseguimos determinar exatamente. Isso significa que, em geral, esse sistema **não é inversível**, porque falta essa informação adicional para reverter a operação.

Passo 3

Agora vamos para o segundo sistema: **(ii) ** Aqui, a saída é a entrada avaliada em . Para verificar a invertibilidade, queremos expressar em termos de . Vamos resolver para : Primeiro, definimos uma nova variável tal que . Queremos expressar em função de : Agora, substituindo por , temos: Então, o sistema inverso é: Como conseguimos expressar em termos de de forma única, o sistema **é inversível**.

Passo 4

Por último, vamos analisar o terceiro sistema: **(iii) ** Assumindo que representa uma função que multiplica . Para determinar se é inversível, tentamos expressar em função de . Vamos rearranjar a equação: Se for uma função não nula para todos os , então podemos inverter o sistema. No entanto, se for zero para algum , a inversão não seria possível nesses pontos. Além disso, se introduz alguma transformação que não pode ser revertida de forma única, o sistema **pode não ser inversível**. Sem mais informações sobre , não podemos garantir que o sistema é inversível.

Resposta

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