Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e um disco com centro na origem e raio 1. Precisamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira de , , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área, e vamos precisar calcular derivadas parciais das componentes do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que, para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região da diferença entre as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Matematicamente:
Passo 3
Vamos identificar as componentes do campo vetorial . Temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .
Passo 4
Calculando :
Passo 5
Calculando :
Passo 6
Substituímos as derivadas no Teorema de Green:
Passo 7
Observamos que é um disco de raio 1. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde , e . O elemento de área em coordenadas polares é dado por .