Seja e o disco de centro e raio 1. Calcule
para orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e um disco com centro na origem e raio 1. Precisamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira de , , orientada no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área, e vamos precisar calcular derivadas parciais das componentes do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele afirma que, para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região da diferença entre as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Matematicamente:

Passo 3

Vamos identificar as componentes do campo vetorial . Temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Substituímos as derivadas no Teorema de Green:

Passo 7

Observamos que é um disco de raio 1. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde , e . O elemento de área em coordenadas polares é dado por .

Passo 8

Reescrevemos a integral em coordenadas polares:
Os limites de integração são:
  • varia de a
  • varia de a

Passo 9

Calculamos a integral dupla:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Para , determine se a série converge ou diverge. Justifique!
Seja . Calcule as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, onde é a região triangular de vértices e .
Calcule os limites.
Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral
numa integral de linha e calcule, onde , é a superfície com e a normal com componente positiva.