l) f(x)=x^2 sen^4 x+x cos ^-2 x R: f^prime(x)=2 x sen^4 x+4 x^2 sen^3 x cos x+cos ^-2 x+

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar a sua derivada, ou seja, . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação importantes, como a regra do produto e a regra da cadeia. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos focar no primeiro termo da função: ddx[u(x) cdot v(x)] = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto é:

Passo 3

Vamos aplicar essa regra ao primeiro termo:
  • Identificando as funções:
    • v'(x) = 4 sin^3x cdot cos x
    • ddx[x^2 sin^4x] = 2x cdot sin^4x + x^2 cdot 4 sin^3x cos x = 2x sin^4x + 4x^2 sin^3x cos x
  • Derivando cada função:
    • (derivada de )
    • Para , usamos a regra da cadeia. Pense em como , então: (derivada de é )
  • Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo da função: . Novamente, temos um produto de duas funções: e . Vamos aplicar a regra do produto aqui também.

Passo 5

Aplicando a regra do produto ao segundo termo:
  • Identificando as funções:
    • v'(x) = -2 cos^-3x cdot (-sin x) = 2 sin x cos^-3x
    • ddx[x cos^-2x] = 1 cdot cos^-2x + x cdot 2 sin x cos^-3x = cos^-2x + 2x sin x cos^-3x
  • Derivando cada função:
    • (derivada de )
    • Para , novamente usamos a regra da cadeia. Podemos pensar em como , então:
  • Aplicando a regra do produto:

Resposta

Agora, juntando as derivadas dos dois termos que calculamos, obtemos a derivada completa da função f'(x) = 2x sin^4x + 4x^2 sin^3x cos x + cos^-2x + 2x sin x cos^-3x :

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