(b) Para cada eixo coordenado use a
lei de Newton, associado ao fato que
e
, e determine as funções horárias das velocidades nos eixos
e y, considerando que o vetor velocidade inicial do projétil seja
;
© De posse das funções horárias das velocidades obtidas no item anterior, obtenha as funções horárias das posições para cada eixo coordenado, usando as relações
e considerando que o vetor posição inicial do projétil seja
;
(d) Calcule a equação da trajetória
e mostre que, quando se considera a resistência do ar, a trajetória parabólica simétrica deixa de existir.
© De posse das funções horárias das velocidades obtidas no item anterior, obtenha as funções horárias das posições para cada eixo coordenado, usando as relações
(d) Calcule a equação da trajetória
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o movimento de um projétil considerando a resistência do ar. A gente vai usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Precisamos determinar como as velocidades e posições mudam com o tempo nos eixos x e y, e depois ver como a trajetória do projétil se comporta quando o ar é considerado.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton no eixo x. A força resultante nesse eixo é dada por:
Segundo a segunda lei de Newton:
Onde
. Então temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial para
. A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
Onde
é a velocidade inicial no eixo x.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton no eixo y. A força resultante nesse eixo é:
Aplicando a segunda lei de Newton:
Passo 5
Vamos resolver essa equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução geral:
Onde
é a velocidade inicial no eixo y.
Passo 6
Com as funções das velocidades, vamos encontrar as posições
e
.
Para o eixo x:
Integrando em relação ao tempo:
Para o eixo y:
Integrando em relação ao tempo:
Passo 7
Agora, vamos eliminar o tempo para encontrar a equação da trajetória
.
Primeiro, da expressão de
:
Substituindo esse
na expressão de
, teremos
em função de
. Porém, devido à presença dos termos exponenciais e logarítmicos, a equação resultante não será uma parábola, mostrando que a resistência do ar altera a forma da trajetória.
Passo 8
Sem a resistência do ar (
), as equações simplificam e conseguimos obter a clássica trajetória parabólica simétrica. Porém, com
, os termos ligados a
fazem com que a trajetória deixe de ser uma parábola perfeita, tornando-a assimétrica e mais realista.
Resposta
As funções horárias das velocidades são:
As funções horárias das posições são:
A equação da trajetória
não é mais uma parábola simétrica devido à presença da resistência do ar.
Exercícios relacionados
Em um encontro de mímicos, o mímico 1 se desloca de
e o mímico 2 se desloca de
.
Determine
Determine
Em um encontro de mímicos, o mímico 1 se desloca de
e o mímico 2 se desloca de
.
Determine ,
Determine
Problema 25. A figura abaixo ilustra um projétil que foi lançado e está submetido à ação das forças da gravidade (considerando um campo gravitacional uniforme) e de arrasto (ou resistência do ar), onde esta última é proporcional à velocidade da partícula e tem sentido contrário a esse vetor resultante que atua sobre o projétil assume a forma vetorial
. Sendo
, de acordo com o sistema de coordenadas fixado, e
, responda os itens a seguir:
Uma força horizontal, de
, pressiona um livro de
contra uma parede vertical. O livro está inicialmente em repouso. Se os coeficientes de atrito são
e
, a força de atrito depois de algum tempo é
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.