l FR x=-b vx FR y=-m g-b vy
(b) Para cada eixo coordenado use a 2^circ lei de Newton, associado ao fato que ax=d vxd t e ay=d vyd t, e determine as funções horárias das velocidades nos eixos x e y, considerando que o vetor velocidade inicial do projétil seja v0=(v0 cos theta0, v0 sen theta0);
© De posse das funções horárias das velocidades obtidas no item anterior, obtenha as funções horárias das posições para cada eixo coordenado, usando as relações vx=d xd t, vy=d yd t e considerando que o vetor posição inicial do projétil seja r0=(0,0);
(d) Calcule a equação da trajetória y(x) e mostre que, quando se considera a resistência do ar, a trajetória parabólica simétrica deixa de existir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o movimento de um projétil considerando a resistência do ar. A gente vai usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Precisamos determinar como as velocidades e posições mudam com o tempo nos eixos x e y, e depois ver como a trajetória do projétil se comporta quando o ar é considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton no eixo x. A força resultante nesse eixo é dada por:
FR x = -b vx
Segundo a segunda lei de Newton:
F = m a
Onde m d vxd t = -b vx . Então temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para d vxd t = -bm vx . A equação é:
vx(t) = v0x e^-bm t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
Onde é a velocidade inicial no eixo x.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton no eixo y. A força resultante nesse eixo é:
FR y = -m g - b vy
Aplicando a segunda lei de Newton:
m d vyd t = -m g - b vy

Passo 5

Vamos resolver essa equação diferencial para d vyd t + bm vy = -g :
vy(t) = (v0y + m gb) e^-bm t - m gb
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução geral:
Onde é a velocidade inicial no eixo y.

Passo 6

Com as funções das velocidades, vamos encontrar as posições vx(t) = d xd t = v0 cos theta0 e^-bm t e x(t) = m v0 cos theta0b (1 - e^-bm t) .
Para o eixo x:
vy(t) = d yd t = (v0 sin theta0 + m gb) e^-bm t - m gb
Integrando em relação ao tempo:
y(t) = mb (v0 sin theta0 + m gb) (1 - e^-bm t) - m gb t
Para o eixo y:
Integrando em relação ao tempo:

Passo 7

Agora, vamos eliminar o tempo para encontrar a equação da trajetória t = -mb ln(1 - b xm v0 cos theta0) .
Primeiro, da expressão de :
Substituindo esse na expressão de , teremos em função de . Porém, devido à presença dos termos exponenciais e logarítmicos, a equação resultante não será uma parábola, mostrando que a resistência do ar altera a forma da trajetória.

Passo 8

Sem a resistência do ar ( ), as equações simplificam e conseguimos obter a clássica trajetória parabólica simétrica. Porém, com , os termos ligados a fazem com que a trajetória deixe de ser uma parábola perfeita, tornando-a assimétrica e mais realista.

Resposta

As funções horárias das velocidades são:
vx(t) = v0 cos theta0 , e^-bm t
vy(t) = (v0 sin theta0 + m gb) e^-bm t - m gb
As funções horárias das posições são:
x(t) = m v0 cos theta0b (1 - e^-bm t)
y(t) = mb (v0 sin theta0 + m gb) (1 - e^-bm t) - m gb t
A equação da trajetória não é mais uma parábola simétrica devido à presença da resistência do ar.

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