(b) Para cada eixo coordenado use a lei de Newton, associado ao fato que e , e determine as funções horárias das velocidades nos eixos e y, considerando que o vetor velocidade inicial do projétil seja ;
© De posse das funções horárias das velocidades obtidas no item anterior, obtenha as funções horárias das posições para cada eixo coordenado, usando as relações e considerando que o vetor posição inicial do projétil seja ;
(d) Calcule a equação da trajetória e mostre que, quando se considera a resistência do ar, a trajetória parabólica simétrica deixa de existir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o movimento de um projétil considerando a resistência do ar. A gente vai usar a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração. Precisamos determinar como as velocidades e posições mudam com o tempo nos eixos x e y, e depois ver como a trajetória do projétil se comporta quando o ar é considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton no eixo x. A força resultante nesse eixo é dada por:
Segundo a segunda lei de Newton:
Onde . Então temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial para . A equação é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
Onde é a velocidade inicial no eixo x.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton no eixo y. A força resultante nesse eixo é:
Aplicando a segunda lei de Newton:

Passo 5

Vamos resolver essa equação diferencial para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução geral:
Onde é a velocidade inicial no eixo y.

Passo 6

Com as funções das velocidades, vamos encontrar as posições e .
Para o eixo x:
Integrando em relação ao tempo:
Para o eixo y:
Integrando em relação ao tempo:

Passo 7

Agora, vamos eliminar o tempo para encontrar a equação da trajetória .
Primeiro, da expressão de :
Substituindo esse na expressão de , teremos em função de . Porém, devido à presença dos termos exponenciais e logarítmicos, a equação resultante não será uma parábola, mostrando que a resistência do ar altera a forma da trajetória.

Passo 8

Sem a resistência do ar ( ), as equações simplificam e conseguimos obter a clássica trajetória parabólica simétrica. Porém, com , os termos ligados a fazem com que a trajetória deixe de ser uma parábola perfeita, tornando-a assimétrica e mais realista.

Resposta

As funções horárias das velocidades são:
As funções horárias das posições são:
A equação da trajetória não é mais uma parábola simétrica devido à presença da resistência do ar.

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Em um encontro de mímicos, o mímico 1 se desloca de e o mímico 2 se desloca de .
Determine
Em um encontro de mímicos, o mímico 1 se desloca de e o mímico 2 se desloca de .
Determine ,
Problema 25. A figura abaixo ilustra um projétil que foi lançado e está submetido à ação das forças da gravidade (considerando um campo gravitacional uniforme) e de arrasto (ou resistência do ar), onde esta última é proporcional à velocidade da partícula e tem sentido contrário a esse vetor resultante que atua sobre o projétil assume a forma vetorial . Sendo , de acordo com o sistema de coordenadas fixado, e , responda os itens a seguir:
Uma força horizontal, de , pressiona um livro de contra uma parede vertical. O livro está inicialmente em repouso. Se os coeficientes de atrito são e , a força de atrito depois de algum tempo é
a.
b.
c.
d.
e.