Problema 25. A figura abaixo ilustra um projétil que foi lançado e está submetido à ação das forças da gravidade (considerando um campo gravitacional uniforme) e de arrasto (ou resistência do ar), onde esta última é proporcional à velocidade da partícula e tem sentido contrário a esse vetor resultante que atua sobre o projétil assume a forma vetorial
. Sendo
, de acordo com o sistema de coordenadas fixado, e
, responda os itens a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um projétil que foi lançado e tá sob a ação de duas forças principais: a gravidade e a resistência do ar (ou arrasto). A força da gravidade é representada por
, e a velocidade do projétil é
. A resistência do ar é proporcional à velocidade e age no sentido contrário, então a força resultante que age sobre o projétil é
. Para resolver isso, vamos precisar usar a segunda lei de Newton e entender como essas forças se comportam nas direções x e y.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante
é igual à massa
multiplicada pela aceleração
:
Como temos duas direções (x e y), vamos separar essa equação em componentes.
Passo 3
Vamos separar as forças nas direções x e y. A força resultante é:
Substituindo
e
:
Agora, identificamos as componentes:
- Na direção x:
- Na direção y:
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton em cada direção:
- Na direção x:
- Na direção y:
Passo 5
Agora, vamos resolver as equações diferenciais para
e
.
Para a direção x:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
onde
é a velocidade inicial na direção x.
Passo 6
Para a direção y:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
A solução geral é:
onde
é a velocidade inicial na direção y.
Resposta
As velocidades do projétil em função do tempo são:
e