Problema 25. A figura abaixo ilustra um projétil que foi lançado e está submetido à ação das forças da gravidade (considerando um campo gravitacional uniforme) e de arrasto (ou resistência do ar), onde esta última é proporcional à velocidade da partícula e tem sentido contrário a esse vetor resultante que atua sobre o projétil assume a forma vetorial . Sendo , de acordo com o sistema de coordenadas fixado, e , responda os itens a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um projétil que foi lançado e tá sob a ação de duas forças principais: a gravidade e a resistência do ar (ou arrasto). A força da gravidade é representada por , e a velocidade do projétil é . A resistência do ar é proporcional à velocidade e age no sentido contrário, então a força resultante que age sobre o projétil é . Para resolver isso, vamos precisar usar a segunda lei de Newton e entender como essas forças se comportam nas direções x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração :
Como temos duas direções (x e y), vamos separar essa equação em componentes.

Passo 3

Vamos separar as forças nas direções x e y. A força resultante é:
Substituindo e :
Agora, identificamos as componentes:
  • Na direção x:
  • Na direção y:

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton em cada direção:
  • Na direção x:
  • Na direção y:

Passo 5

Agora, vamos resolver as equações diferenciais para e .
Para a direção x:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
onde é a velocidade inicial na direção x.

Passo 6

Para a direção y:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
A solução geral é:
onde é a velocidade inicial na direção y.

Resposta

As velocidades do projétil em função do tempo são:
e

Exercícios relacionados

(b) Para cada eixo coordenado use a lei de Newton, associado ao fato que e , e determine as funções horárias das velocidades nos eixos e y, considerando que o vetor velocidade inicial do projétil seja ;
© De posse das funções horárias das velocidades obtidas no item anterior, obtenha as funções horárias das posições para cada eixo coordenado, usando as relações e considerando que o vetor posição inicial do projétil seja ;
(d) Calcule a equação da trajetória e mostre que, quando se considera a resistência do ar, a trajetória parabólica simétrica deixa de existir.
Em um encontro de mímicos, o mímico 1 se desloca de e o mímico 2 se desloca de .
Determine
Uma força horizontal, de , pressiona um livro de contra uma parede vertical. O livro está inicialmente em repouso. Se os coeficientes de atrito são e , a força de atrito depois de algum tempo é
a.
b.
c.
d.
e.
Ainda considerando a situação descrita no problema 6, determine a força normal exercida pela guia sobre o cursor (a) imediatamente antes de ela passar pelo ponto , (b) imediatamente após ela passar pelo ponto e © imediatamente antes de passar pelo ponto .
Resp. (a) (b) © (para baixo).