Problema 25. A figura abaixo ilustra um projétil que foi lançado e está submetido à ação das forças da gravidade (considerando um campo gravitacional uniforme) e de arrasto (ou resistência do ar), onde esta última é proporcional à velocidade da partícula e tem sentido contrário a esse vetor resultante que atua sobre o projétil assume a forma vetorial FR=m g-b v. Sendo g=-g j, de acordo com o sistema de coordenadas fixado, e v=vx i+vy j, responda os itens a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Temos um projétil que foi lançado e tá sob a ação de duas forças principais: a gravidade e a resistência do ar (ou arrasto). A força da gravidade é representada por g = -g j, e a velocidade do projétil é v = vx i + vy j. A resistência do ar é proporcional à velocidade e age no sentido contrário, então a força resultante que age sobre o projétil é FR = m g - b v. Para resolver isso, vamos precisar usar a segunda lei de Newton e entender como essas forças se comportam nas direções x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante F é igual à massa m multiplicada pela aceleração a:
F = m a
Como temos duas direções (x e y), vamos separar essa equação em componentes.

Passo 3

Vamos separar as forças nas direções x e y. A força resultante é:
FR = m g - b v
Substituindo g e v:
FR = m (-g j) - b (vx i + vy j) = -m g j - b vx i - b vy j
Agora, identificamos as componentes:
  • Na direção x: FRx = -b vx
  • Na direção y: FRy = -m g - b vy

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton em cada direção:
  • Na direção x:
FRx = m ax Rightarrow -b vx = m dvxdt
  • Na direção y:
FRy = m ay Rightarrow -m g - b vy = m dvydt

Passo 5

Agora, vamos resolver as equações diferenciais para vx e vy.
Para a direção x:
dvxdt = -bm vx
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é:
vx(t) = vx0 e^-bm t
onde vx0 é a velocidade inicial na direção x.

Passo 6

Para a direção y:
dvydt = -g - bm vy
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular.
A solução geral é:
vy(t) = (vy0 + m gb) e^-bm t - m gb
onde vy0 é a velocidade inicial na direção y.

Resposta

As velocidades do projétil em função do tempo são:
vx(t) = vx0 , e^-bm t
e
vy(t) = (vy0 + m gb) e^-bm t - m gb

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