Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
e precisa encontrar os pontos onde ela tem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente as derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada primeira nos ajuda a identificar os pontos críticos, onde a inclinação da função é zero ou indefinida.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar a derivada primeira a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Passo 4
Encontramos dois valores de
:
e
. Agora, precisamos determinar se cada um desses pontos é um máximo ou um mínimo local. Para isso, usamos a derivada segunda.
Vamos calcular a derivada segunda da função
:
Passo 5
Agora, avaliaremos a derivada segunda em cada um dos pontos críticos:
Para
:
Como a derivada segunda é positiva, isso significa que a função tem um mínimo local nesse ponto.
Para
:
Aqui, a derivada segunda é negativa, indicando que a função tem um máximo local nesse ponto.
Resposta
A função
tem um ponto de mínimo local em
e um ponto de máximo local em
.