l g(x)=x^3-x g^prime(x)=3 x^2-1=0 Leftrightarrow x=raiz13 g^prime(x)=6 x Rightarrow g^prime prime(raiz13)=6 cdot raiz13>0 therefore raiz13 iop pto de minn promnado

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa encontrar os pontos onde ela tem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, mais especificamente as derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função g'(x) = 3x^2 - 1 . A derivada primeira nos ajuda a identificar os pontos críticos, onde a inclinação da função é zero ou indefinida.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos igualar a derivada primeira a zero para encontrar os pontos críticos:
3x^2 - 1 = 0
Resolvendo para 3x^2 = 1 x^2 = 13 x = raiz13 ou x = -raiz13 :

Passo 4

Encontramos dois valores de g''(x) = 6x : e . Agora, precisamos determinar se cada um desses pontos é um máximo ou um mínimo local. Para isso, usamos a derivada segunda.
Vamos calcular a derivada segunda da função :

Passo 5

Agora, avaliaremos a derivada segunda em cada um dos pontos críticos:
Para g''(raiz13) = 6 cdot raiz13 > 0 :
g''(-raiz13) = 6 cdot (-raiz13) < 0
Como a derivada segunda é positiva, isso significa que a função tem um mínimo local nesse ponto.
Para :
Aqui, a derivada segunda é negativa, indicando que a função tem um máximo local nesse ponto.

Resposta

A função tem um ponto de mínimo local em e um ponto de máximo local em .

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