regra da cadeie)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar a derivada de uma função que envolve logaritmo e raiz quadrada. O conteúdo está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos derivando. Temos:
Queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso, temos a raiz quadrada de uma função logarítmica.
Passo 4
Vamos identificar as camadas da função:
- A função externa é a raiz quadrada, que podemos escrever como
. - A função interna é
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
será:
Aqui, derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada da função interna.
Passo 6
Agora, precisamos derivar
. Vamos usar a regra da derivada do logaritmo e a regra da potência. Sabemos que:
Onde
.
Passo 7
Derivando
, temos:
Então, a derivada de
é:
Passo 8
Voltando à expressão da derivada de
:
Podemos simplificar os termos:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Use os recursos de derivadas e esboce o gráfico de
a)
a)
Derive e indique
os resultados usados.
b)
b)
Use os recursos de derivadas e esboce o gráfico de
b) .
b)