regra da cadeie)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar a derivada de uma função que envolve logaritmo e raiz quadrada. O conteúdo está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos derivando. Temos:
Queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso, temos a raiz quadrada de uma função logarítmica.

Passo 4

Vamos identificar as camadas da função:
  1. A função externa é a raiz quadrada, que podemos escrever como .
  2. A função interna é .

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a será:
Aqui, derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 6

Agora, precisamos derivar . Vamos usar a regra da derivada do logaritmo e a regra da potência. Sabemos que:
Onde .

Passo 7

Derivando , temos:
Então, a derivada de é:

Passo 8

Voltando à expressão da derivada de :
Podemos simplificar os termos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Use os recursos de derivadas e esboce o gráfico de
a)
Derive e indique os resultados usados.
b)
Use os recursos de derivadas e esboce o gráfico de
b) .