Use os recursos de derivadas e esboce o gráfico de
a) y = x^2 - 2x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar derivadas e depois fazer o esboço do gráfico da função . Então, vamos trabalhar com cálculo de derivadas para encontrar as características principais da função, como pontos críticos, e depois usar essas informações para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando, ou seja, sua inclinação em cada ponto.
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada é sempre definida, então vamos igualar a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para saber se esse ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão, vamos analisar a segunda derivada ou ver o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto. Aqui, vamos usar a segunda derivada.
Calculando a segunda derivada:
Como a segunda derivada é positiva ( ), isso indica que a função tem um mínimo em .

Passo 5

Vamos agora encontrar as coordenadas do ponto mínimo. Sabemos que , então substituímos na função original para encontrar :
Então, o ponto mínimo é .

Passo 6

Vamos determinar o eixo de simetria da parábola. Como a função é do segundo grau e tem a forma , o eixo de simetria é dado por:
Aqui, e , então:
Portanto, o eixo de simetria é .

Passo 7

Vamos identificar o vértice da parábola, que já sabemos ser o ponto mínimo encontrado: .
Também é importante encontrar o ponto de interseção com o eixo (quando ):
Então, a interseção com o eixo é .

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • A parábola abre para cima (porque ).
  • O vértice está em .
  • O eixo de simetria é a reta .
  • A parábola passa pelo ponto .

Resposta

O gráfico da função é uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto , eixo de simetria e interceptação com o eixo em .

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