Use os recursos de derivadas e esboce o gráfico de
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar derivadas e depois fazer o esboço do gráfico da função
. Então, vamos trabalhar com cálculo de derivadas para encontrar as características principais da função, como pontos críticos, e depois usar essas informações para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando, ou seja, sua inclinação em cada ponto.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada
é sempre definida, então vamos igualar a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para saber se esse ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão, vamos analisar a segunda derivada ou ver o comportamento da primeira derivada ao redor desse ponto. Aqui, vamos usar a segunda derivada.
Calculando a segunda derivada:
Como a segunda derivada é positiva (
), isso indica que a função tem um mínimo em
.
Passo 5
Vamos agora encontrar as coordenadas do ponto mínimo. Sabemos que
, então substituímos na função original para encontrar
:
Então, o ponto mínimo é
.
Passo 6
Vamos determinar o eixo de simetria da parábola. Como a função é do segundo grau e tem a forma
, o eixo de simetria é dado por:
Aqui,
e
, então:
Portanto, o eixo de simetria é
.
Passo 7
Vamos identificar o vértice da parábola, que já sabemos ser o ponto mínimo encontrado:
.
Também é importante encontrar o ponto de interseção com o eixo
(quando
):
Então, a interseção com o eixo
é
.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- A parábola abre para cima (porque
). - O vértice está em
. - O eixo de simetria é a reta
. - A parábola passa pelo ponto
.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto
, eixo de simetria
e interceptação com o eixo
em
.