Mostre que o conjunto
tal que
é subespaço vetorial do
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso faz parte do estudo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para provar que
é um subespaço, precisamos verificar três propriedades fundamentais:
- Contém o vetor zero.
- Fechado para adição de vetores.
- Fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o conjunto
contém o vetor zero de
. O vetor zero em
é
. Observando a definição de
, se escolhermos
, temos
. Portanto,
contém o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado para a adição de vetores. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer em
, sua soma também deve estar em
.
Sejam
e
pertencentes a
. A soma desses vetores é:
Como
é um número real,
também pertence a
. Portanto,
é fechado para adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechado para a multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de
por um escalar qualquer, o resultado também deve estar em
.
Seja
pertencente a
e
um escalar real. A multiplicação por escalar é dada por:
Como
é um número real,
também pertence a
. Portanto,
é fechado para multiplicação por escalar.
Resposta
Concluímos que o conjunto
satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
.