Mostre que o conjunto S=(x, 0,0) in R^3 tal que x in R é subespaço vetorial do R^3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso faz parte do estudo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para provar que é um subespaço, precisamos verificar três propriedades fundamentais:
  1. Contém o vetor zero.
  2. Fechado para adição de vetores.
  3. Fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o conjunto contém o vetor zero de . O vetor zero em é . Observando a definição de , se escolhermos , temos . Portanto, contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos verificar se u + v = (x1 + x2, 0 + 0, 0 + 0) = (x1 + x2, 0, 0) é fechado para a adição de vetores. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer em , sua soma também deve estar em .
Sejam e pertencentes a . A soma desses vetores é:
Como é um número real, também pertence a . Portanto, é fechado para adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se c cdot u = (c cdot x, c cdot 0, c cdot 0) = (c x, 0, 0) é fechado para a multiplicação por escalar. Isso significa que, se multiplicarmos qualquer vetor de por um escalar qualquer, o resultado também deve estar em .
Seja pertencente a e um escalar real. A multiplicação por escalar é dada por:
Como é um número real, também pertence a . Portanto, é fechado para multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que o conjunto satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de .

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