l x-y=3 2 x-2 y=k
não tem solução? Exatamente uma solução? E infinitas soluções? (determine duas destas soluções)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta um sistema de duas equações lineares com duas incógnitas, l x - y = 3 2x - 2y = k e :
O conteúdo aqui envolve sistemas lineares e suas soluções. Precisamos descobrir para quais valores de o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem infinitas soluções. Além disso, vamos encontrar duas soluções específicas quando possível.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as duas equações. A primeira é x = y + 3 . Podemos reescrever isso para facilitar:
Isso nos dá uma expressão para em termos de .

Passo 3

Agora, vamos substituir 2x - 2y = k 2(y + 3) - 2y = k 2y + 6 - 2y = k 6 = k na segunda equação usando a expressão que encontramos:

Passo 4

O resultado nos diz que, para o sistema ter uma solução, deve ser igual a 6. Vamos entender isso:
  • Se : As duas equações representam linhas paralelas que nunca se cruzam. Portanto, não há solução.
  • Se : As duas equações representam a mesma linha, o que significa que inúmeras soluções existem. Portanto, há infinitas soluções.

Passo 5

Agora, vamos encontrar duas soluções quando x = 0 + 3 = 3 . Sabemos que x = 2 + 3 = 5 . Podemos atribuir valores a e encontrar :
  1. Primeira solução:
    • Se : Então, a solução é .
  2. Segunda solução:
    • Se : Então, a solução é .

Resposta

Para o sistema dado:
  • Não tem solução quando .
  • Tem infinitas soluções quando , por exemplo, e .

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