Se o ponto P0=(2, a, b) pertence a reta que passa pelos pontos P=(1,1,1) e Q=(0,0,1), determine a e b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um ponto que está na reta que passa pelos pontos e . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de retas no espaço tridimensional. Vamos precisar encontrar uma equação que descreva essa reta e então igualar as coordenadas do ponto para descobrir e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como parametrizar uma reta que passa por dois pontos. Se temos dois pontos x = x1 + t(x2 - x1) y = y1 + t(y2 - y1) z = z1 + t(z2 - z1) e , a equação paramétrica da reta que passa por eles pode ser escrita como:
Aqui, é um parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

Aplicando isso aos nossos pontos x = 1 + t(0 - 1) = 1 - t y = 1 + t(0 - 1) = 1 - t z = 1 + t(1 - 1) = 1 e x = 1 - t y = 1 - t z = 1 , temos:
Então, a equação parametrizada da reta é:

Passo 4

Agora, sabemos que o ponto 2 = 1 - t a = 1 - t b = 1 está nessa reta, então suas coordenadas devem satisfazer as equações da reta. Vamos igualar as coordenadas:

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para encontrar 2 = 1 - t implies t = 1 - 2 = -1 :

Passo 6

Agora que sabemos que a = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 , podemos substituir esse valor na segunda equação para encontrar :

Passo 7

A terceira equação já nos dá diretamente o valor de b = 1 :

Resposta

Os valores são e .

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