De uma população normal com sigma=5, retira-se uma amostra de 50 elementos e obtém-se barx=42.
(a) Construir um intervalo de confiança para a média populacional ao nível de 95 % de confiança.
(b) Qual o erro de estimação ao nível de 95 % de confiança?
© Para que o erro seja menor ou igual a 1, com probabilidade de acerto 95 %, qual deverá ser o tamanho da amostra?
(R:(a) (40,61 ; 43,39) (b) epsilon=1,39 © n >= 96 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma população com desvio padrão sigma = 5. Tiramos uma amostra de 50 elementos dessa população e a média da amostra foi barx = 42. A matéria envolvida aqui é Estatística Inferencial, mais especificamente, Intervalo de Confiança para a média populacional. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do intervalo de confiança para a média populacional quando o desvio padrão ( sigma) é conhecido:
barx pm z cdot ( sigmaraizn )
Aqui, barx é a média da amostra, z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado, sigma é o desvio padrão da população e n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Como queremos um nível de confiança de 95%, precisamos encontrar o valor de z que corresponde a esse nível. Sabemos que para 95% de confiança, z approx 1,96.

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn:
5raiz50 approx 57,071 approx 0,707

Passo 5

Com o valor de z e o erro padrão, podemos calcular o intervalo de confiança:
42 pm 1,96 cdot 0,707
Calculando o produto:
1,96 cdot 0,707 approx 1,385

Passo 6

Finalmente, determinamos os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
42 - 1,385 approx 40,615
42 + 1,385 approx 43,385

Resposta

O intervalo de confiança para a média populacional ao nível de 95% de confiança é aproximadamente (40,62; 43,38).

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