l a x+b y=e c x+d y=f
Mostre que:
(a) se a d-b c neq 0, então o sistema tem uma única solução, dada por
x=d e-b fa d-b c e y=a f-c ea d-b c
(b) se a d-b c=0 e ac=bd neq ef, então o sistema não tem solução.
© se a d-b c=0 e ac=bd=ef, então o sistema tem infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações lineares com duas variáveis:
l a x + b y = e c x + d y = f
O conteúdo aqui é sobre sistemas lineares e como resolvê-los. Para resolver esse sistema e responder às questões (a), (b) e ©, vamos precisar entender o determinante do sistema, que é dado por .

Passo 2

Primeiro, vamos ver a parte (a): Se , o sistema tem uma única solução.
Quando o determinante é diferente de zero, significa que as duas equações são linhas independentes, ou seja, elas se cruzam em exatamente um ponto no plano. Esse ponto é a solução única do sistema.

Passo 3

Para encontrar essa solução, usamos Regra de Cramer. Ela nos dá fórmulas para x = d e - b fa d - b c e y = a f - c ea d - b c baseadas nos coeficientes das equações.
A fórmula para é:
E para :
Essas frações mostram como e dependem dos coeficientes das equações e dos termos constantes e .

Passo 4

Então, resumindo a parte (a):
Se x = d e - b fa d - b c e y = a f - c ea d - b c , temos uma única solução para o sistema, dada por:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): Se e , então o sistema não tem solução.
Quando , o determinante é zero, o que indica que as duas equações são linhas paralelas ou a mesma linha.
A condição significa que as duas equações têm a mesma inclinação (são paralelas). Mas se for diferente de , as linhas são paralelas e não se encontram, ou seja, não há solução.

Passo 6

Portanto, para a parte (b):
Se e , o sistema não tem solução.

Passo 7

Por fim, vamos para a parte ©: Se e , então o sistema tem infinitas soluções.
Aqui, além de e , temos que também é igual a esses quocientes. Isso significa que as duas equações representam a mesma linha no plano. Como são a mesma linha, elas têm infinitos pontos em comum, ou seja, infinitas soluções.

Resposta

(a) Se x = d e - b fa d - b c e y = a f - c ea d - b c , então o sistema tem uma única solução dada por
(b) Se e , então o sistema não tem solução.
© Se e , então o sistema tem infinitas soluções.

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