Mostre que:
(a) se
, então o sistema tem uma única solução, dada por
(b) se
e
, então o sistema não tem solução.
© se
e
, então o sistema tem infinitas soluções.
(a) se
© se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações lineares com duas variáveis:
O conteúdo aqui é sobre sistemas lineares e como resolvê-los. Para resolver esse sistema e responder às questões (a), (b) e ©, vamos precisar entender o determinante do sistema, que é dado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a parte (a): Se
, o sistema tem uma única solução.
Quando o determinante
é diferente de zero, significa que as duas equações são linhas independentes, ou seja, elas se cruzam em exatamente um ponto no plano. Esse ponto é a solução única do sistema.
Passo 3
Para encontrar essa solução, usamos Regra de Cramer. Ela nos dá fórmulas para
e
baseadas nos coeficientes das equações.
A fórmula para
é:
E para
:
Essas frações mostram como
e
dependem dos coeficientes das equações e dos termos constantes
e
.
Passo 4
Então, resumindo a parte (a):
Se
, temos uma única solução para o sistema, dada por:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): Se
e
, então o sistema não tem solução.
Quando
, o determinante é zero, o que indica que as duas equações são linhas paralelas ou a mesma linha.
A condição
significa que as duas equações têm a mesma inclinação (são paralelas). Mas se
for diferente de
, as linhas são paralelas e não se encontram, ou seja, não há solução.
Passo 6
Portanto, para a parte (b):
Se
e
, o sistema não tem solução.
Passo 7
Por fim, vamos para a parte ©: Se
e
, então o sistema tem infinitas soluções.
Aqui, além de
e
, temos que
também é igual a esses quocientes. Isso significa que as duas equações representam a mesma linha no plano. Como são a mesma linha, elas têm infinitos pontos em comum, ou seja, infinitas soluções.
Resposta
(a) Se
, então o sistema tem uma única solução dada por
(b) Se
e
, então o sistema não tem solução.
© Se
e
, então o sistema tem infinitas soluções.