Mostre que:
(a) se
, então o sistema tem uma única solução, dada por
(b) se
e
, então o sistema não tem solução.
© se
e
, então o sistema tem infinitas soluções.
(a) se
© se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações lineares com duas variáveis:
O conteúdo aqui é sobre sistemas lineares e como resolvê-los. Para resolver esse sistema e responder às questões (a), (b) e ©, vamos precisar entender o determinante do sistema, que é dado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a parte (a): Se
, o sistema tem uma única solução.
Quando o determinante
é diferente de zero, significa que as duas equações são linhas independentes, ou seja, elas se cruzam em exatamente um ponto no plano. Esse ponto é a solução única do sistema.
Passo 3
Para encontrar essa solução, usamos Regra de Cramer. Ela nos dá fórmulas para
e
baseadas nos coeficientes das equações.
A fórmula para
é:
E para
:
Essas frações mostram como
e
dependem dos coeficientes das equações e dos termos constantes
e
.
Passo 4
Então, resumindo a parte (a):
Se
, temos uma única solução para o sistema, dada por:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): Se
e
, então o sistema não tem solução.
Quando
, o determinante é zero, o que indica que as duas equações são linhas paralelas ou a mesma linha.
A condição
significa que as duas equações têm a mesma inclinação (são paralelas). Mas se
for diferente de
, as linhas são paralelas e não se encontram, ou seja, não há solução.
Passo 6
Portanto, para a parte (b):
Se
e
, o sistema não tem solução.
Passo 7
Por fim, vamos para a parte ©: Se
e
, então o sistema tem infinitas soluções.
Aqui, além de
e
, temos que
também é igual a esses quocientes. Isso significa que as duas equações representam a mesma linha no plano. Como são a mesma linha, elas têm infinitos pontos em comum, ou seja, infinitas soluções.
Resposta
(a) Se
, então o sistema tem uma única solução dada por
(b) Se
e
, então o sistema não tem solução.
© Se
e
, então o sistema tem infinitas soluções.
Exercícios relacionados
a) Verifique que
é uma transformação linear;
b) Forneça e
.
b) Forneça
Sejam
e
. Determine a matriz
tal que
(a) ( ) Se o sistema linear
admite as soluções
e
, então também admite
como solução, quaisquer que sejam os números reais
e
.
(b) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear tenha somente a solução trivial é que
.
© ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
(d) ( ) Se e
são soluções do sistema linear
, então
é solução de
.
(e) ( ) Se é uma matriz invertível tal que
, então os sistemas lineares
e
são equivalentes.
(f) ( ) Se é uma matriz tal que
, então os sistemas lineares
e
são equivalentes.
(g) ( ) Se e
são soluções do sistema
, então
é solução de
.
(h) ( ) Se é uma solução do sistema
e
é uma solução do sistema
, então
é solução de
.
(i) ( ) Seja uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema
é compatível determinado, então o sistema
é compatível determinado.
(j) ( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(k) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(l) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
(m) ()Seja uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema linear
é incompatível, então a matriz
não é invertível.
(n) ( ) Seja uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema linear
é determinado, então
é linha equivalente à matriz identidade
.
(b) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear
© ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
(d) ( ) Se
(e) ( ) Se
(f) ( ) Se
(g) ( ) Se
(h) ( ) Se
(i) ( ) Seja
(j) ( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(k) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(l) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
(m) ()Seja
(n) ( ) Seja
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1 | 0 | 2 |
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3 | 1 | 4 |
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2 | 2 | 1 |
Se as quantidades de proteínas
, carboidratos
e gorduras
que a cooperativa tem disponível, nos meses de dezembro e janeiro, são mostradas na tabela abaixo, qual a quantidade de cada tipo de ração é produzido em cada mês?
Quant./mês |
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Dezembro | 15 | 10 | 14 |
Janeiro | 13 | 5 | 17 |