Mostre que:
(a) se , então o sistema tem uma única solução, dada por
(b) se e , então o sistema não tem solução.
© se e , então o sistema tem infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações lineares com duas variáveis:
O conteúdo aqui é sobre sistemas lineares e como resolvê-los. Para resolver esse sistema e responder às questões (a), (b) e ©, vamos precisar entender o determinante do sistema, que é dado por .

Passo 2

Primeiro, vamos ver a parte (a): Se , o sistema tem uma única solução.
Quando o determinante é diferente de zero, significa que as duas equações são linhas independentes, ou seja, elas se cruzam em exatamente um ponto no plano. Esse ponto é a solução única do sistema.

Passo 3

Para encontrar essa solução, usamos Regra de Cramer. Ela nos dá fórmulas para e baseadas nos coeficientes das equações.
A fórmula para é:
E para :
Essas frações mostram como e dependem dos coeficientes das equações e dos termos constantes e .

Passo 4

Então, resumindo a parte (a):
Se , temos uma única solução para o sistema, dada por:

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): Se e , então o sistema não tem solução.
Quando , o determinante é zero, o que indica que as duas equações são linhas paralelas ou a mesma linha.
A condição significa que as duas equações têm a mesma inclinação (são paralelas). Mas se for diferente de , as linhas são paralelas e não se encontram, ou seja, não há solução.

Passo 6

Portanto, para a parte (b):
Se e , o sistema não tem solução.

Passo 7

Por fim, vamos para a parte ©: Se e , então o sistema tem infinitas soluções.
Aqui, além de e , temos que também é igual a esses quocientes. Isso significa que as duas equações representam a mesma linha no plano. Como são a mesma linha, elas têm infinitos pontos em comum, ou seja, infinitas soluções.

Resposta

(a) Se , então o sistema tem uma única solução dada por
(b) Se e , então o sistema não tem solução.
© Se e , então o sistema tem infinitas soluções.

Exercícios relacionados

a) Verifique que é uma transformação linear;
b) Forneça e .
Sejam e . Determine a matriz tal que
(a) ( ) Se o sistema linear admite as soluções e , então também admite como solução, quaisquer que sejam os números reais e .
(b) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear tenha somente a solução trivial é que .
© ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
(d) ( ) Se e são soluções do sistema linear , então é solução de .
(e) ( ) Se é uma matriz invertível tal que , então os sistemas lineares e são equivalentes.
(f) ( ) Se é uma matriz tal que , então os sistemas lineares e são equivalentes.
(g) ( ) Se e são soluções do sistema , então é solução de .
(h) ( ) Se é uma solução do sistema e é uma solução do sistema , então é solução de .
(i) ( ) Seja uma matriz quadrada de ordem . Se o sistema é compatível determinado, então o sistema é compatível determinado.
(j) ( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(k) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(l) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
(m) ()Seja uma matriz quadrada de ordem . Se o sistema linear é incompatível, então a matriz não é invertível.
(n) ( ) Seja uma matriz quadrada de ordem . Se o sistema linear é determinado, então é linha equivalente à matriz identidade .
1 0 2
3 1 4
2 2 1
Se as quantidades de proteínas , carboidratos e gorduras que a cooperativa tem disponível, nos meses de dezembro e janeiro, são mostradas na tabela abaixo, qual a quantidade de cada tipo de ração é produzido em cada mês?
Quant./mês
Dezembro 15 10 14
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