P C G
(1) 1 0 2
(2) 3 1 4
(3) 2 2 1
Se as quantidades de proteínas (P), carboidratos (C) e gorduras (G) que a cooperativa tem disponível, nos meses de dezembro e janeiro, são mostradas na tabela abaixo, qual a quantidade de cada tipo de ração é produzido em cada mês?
Quant./mês P C G
Dezembro 15 10 14
Janeiro 13 5 17

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma tabela que mostra a quantidade de proteínas (P), carboidratos (C) e gorduras (G) presentes em três tipos de ração: (1), (2) e (3). Além disso, sabemos quanto dessas substâncias a cooperativa tem disponível nos meses de dezembro e janeiro. Nosso objetivo é descobrir quantas unidades de cada tipo de ração são produzidas em cada um desses meses. Para resolver isso, vamos usar sistemas de equações lineares, que nos ajudam a encontrar valores desconhecidos quando temos várias equações interligadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no mês de dezembro. Vamos chamar as quantidades de rações produzidas de x, y e z, correspondentes às rações (1), (2) e (3), respectivamente.

Passo 3

A partir da tabela, podemos montar três equações baseadas na disponibilidade de proteínas, carboidratos e gorduras em dezembro:
  1. Proteínas: Cada ração (1) tem 1 unidade de proteína, (2) tem 3 e (3) tem 2. Então:
    1x + 3y + 2z = 15
  2. Carboidratos: Ração (1) tem 0, (2) tem 1 e (3) tem 2:
    0x + 1y + 2z = 10
  3. Gorduras: Ração (1) tem 2, (2) tem 4 e (3) tem 1:
    2x + 4y + 1z = 14

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Vamos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos começar simplificando a segunda equação para facilitar:
y + 2z = 10 Rightarrow y = 10 - 2z

Passo 5

Substituímos y na primeira e terceira equações:
  1. Primeira equação:
    x + 3(10 - 2z) + 2z = 15
    x + 30 - 6z + 2z = 15
    x - 4z = -15 Rightarrow x = 4z - 15
  2. Terceira equação:
    2x + 4(10 - 2z) + z = 14
    2x + 40 - 8z + z = 14
    2x - 7z = -26

Passo 6

Agora, substituímos x da equação anterior na equação simplificada da terceira:
2(4z - 15) - 7z = -26
8z - 30 - 7z = -26
z = 4

Passo 7

Com z = 4, voltamos para a equação y = 10 - 2z:
y = 10 - 2(4) = 2

Passo 8

E finalmente, substituímos z na equação x = 4z - 15:
x = 4(4) - 15 = 16 - 15 = 1

Passo 9

Então, para dezembro:
  • Ração (1): x = 1
  • Ração (2): y = 2
  • Ração (3): z = 4

Passo 10

Agora, vamos fazer o mesmo para janeiro. A disponibilidade de nutrientes é:
  • Proteínas (P): 13
  • Carboidratos (C): 5
  • Gorduras (G): 17

Passo 11

Montamos novamente o sistema de equações para janeiro:
  1. Proteínas:
    1x + 3y + 2z = 13
  2. Carboidratos:
    0x + 1y + 2z = 5
  3. Gorduras:
    2x + 4y + 1z = 17

Passo 12

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, simplificamos a segunda equação:
y + 2z = 5 Rightarrow y = 5 - 2z

Passo 13

Substituímos y nas demais equações:
  1. Primeira equação:
    x + 3(5 - 2z) + 2z = 13
    x + 15 - 6z + 2z = 13
    x - 4z = -2 Rightarrow x = 4z - 2
  2. Terceira equação:
    2x + 4(5 - 2z) + z = 17
    2x + 20 - 8z + z = 17
    2x - 7z = -3

Passo 14

Substituímos x na equação simplificada:
2(4z - 2) - 7z = -3
8z - 4 - 7z = -3
z = 1

Passo 15

Com z = 1, encontramos y:
y = 5 - 2(1) = 3

Passo 16

E substituímos z na equação x = 4z - 2:
x = 4(1) - 2 = 2

Resposta

Em dezembro, são produzidas:
  • Ração (1): 1 unidade
  • Ração (2): 2 unidades
  • Ração (3): 4 unidades
Em janeiro, são produzidas:
  • Ração (1): 2 unidades
  • Ração (2): 3 unidades
  • Ração (3): 1 unidade

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