1 0 2
3 1 4
2 2 1
Se as quantidades de proteínas , carboidratos e gorduras que a cooperativa tem disponível, nos meses de dezembro e janeiro, são mostradas na tabela abaixo, qual a quantidade de cada tipo de ração é produzido em cada mês?
Quant./mês
Dezembro 15 10 14
Janeiro 13 5 17

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma tabela que mostra a quantidade de proteínas , carboidratos e gorduras presentes em três tipos de ração: , e . Além disso, sabemos quanto dessas substâncias a cooperativa tem disponível nos meses de dezembro e janeiro. Nosso objetivo é descobrir quantas unidades de cada tipo de ração são produzidas em cada um desses meses. Para resolver isso, vamos usar sistemas de equações lineares, que nos ajudam a encontrar valores desconhecidos quando temos várias equações interligadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no mês de dezembro. Vamos chamar as quantidades de rações produzidas de , e , correspondentes às rações , e , respectivamente.

Passo 3

A partir da tabela, podemos montar três equações baseadas na disponibilidade de proteínas, carboidratos e gorduras em dezembro:
  1. Proteínas: Cada ração tem 1 unidade de proteína, tem 3 e tem 2. Então:
  2. Carboidratos: Ração tem 0, tem 1 e tem 2:
  3. Gorduras: Ração tem 2, tem 4 e tem 1:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Vamos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos começar simplificando a segunda equação para facilitar:

Passo 5

Substituímos na primeira e terceira equações:
  1. Primeira equação:
  2. Terceira equação:

Passo 6

Agora, substituímos da equação anterior na equação simplificada da terceira:

Passo 7

Com , voltamos para a equação :

Passo 8

E finalmente, substituímos na equação :

Passo 9

Então, para dezembro:
  • Ração :
  • Ração :
  • Ração :

Passo 10

Agora, vamos fazer o mesmo para janeiro. A disponibilidade de nutrientes é:
  • Proteínas : 13
  • Carboidratos : 5
  • Gorduras : 17

Passo 11

Montamos novamente o sistema de equações para janeiro:
  1. Proteínas:
  2. Carboidratos:
  3. Gorduras:

Passo 12

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, simplificamos a segunda equação:

Passo 13

Substituímos nas demais equações:
  1. Primeira equação:
  2. Terceira equação:

Passo 14

Substituímos na equação simplificada:

Passo 15

Com , encontramos :

Passo 16

E substituímos na equação :

Resposta

Em dezembro, são produzidas:
  • Ração : 1 unidade
  • Ração : 2 unidades
  • Ração : 4 unidades
Em janeiro, são produzidas:
  • Ração : 2 unidades
  • Ração : 3 unidades
  • Ração : 1 unidade

Exercícios relacionados

(a) ( ) Se o sistema linear admite as soluções e , então também admite como solução, quaisquer que sejam os números reais e .
(b) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear tenha somente a solução trivial é que .
© ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
(d) ( ) Se e são soluções do sistema linear , então é solução de .
(e) ( ) Se é uma matriz invertível tal que , então os sistemas lineares e são equivalentes.
(f) ( ) Se é uma matriz tal que , então os sistemas lineares e são equivalentes.
(g) ( ) Se e são soluções do sistema , então é solução de .
(h) ( ) Se é uma solução do sistema e é uma solução do sistema , então é solução de .
(i) ( ) Seja uma matriz quadrada de ordem . Se o sistema é compatível determinado, então o sistema é compatível determinado.
(j) ( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(k) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(l) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
(m) ()Seja uma matriz quadrada de ordem . Se o sistema linear é incompatível, então a matriz não é invertível.
(n) ( ) Seja uma matriz quadrada de ordem . Se o sistema linear é determinado, então é linha equivalente à matriz identidade .
Mostre que:
(a) se , então o sistema tem uma única solução, dada por
(b) se e , então o sistema não tem solução.
© se e , então o sistema tem infinitas soluções.
Seja e . Calcule:
tenha:
(a) uma única solução;
(b) infinitas soluções;
© nenhuma solução.