a) Verifique que A é uma transformação linear;
b) Forneça dim(Im(A)) e dim(N(A)).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos. A questão está dividida em duas partes: primeiro, precisamos verificar se é uma transformação linear, e depois encontrar as dimensões da imagem de ( ) e do núcleo de ( ). Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como verificar suas propriedades e calcular as dimensões mencionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para .

Passo 3

Propriedade 1: Adição de vetores
Vamos supor que A(u + v) = A(u) + A(v) e são vetores no domínio de . Segundo a propriedade, devemos ter:
Se isso for verdadeiro para quaisquer vetores e , a transformação respeita a adição.

Passo 4

Propriedade 2: Multiplicação por escalar
Agora, vamos considerar um escalar A(cu) = cA(u) e um vetor no domínio de . A segunda propriedade exige que:
Se isso for válido para qualquer escalar e qualquer vetor , então respeita a multiplicação por escalar.

Passo 5

Se ambas as propriedades acima forem satisfeitas, concluímos que é realmente uma transformação linear. Caso contrário, não seria linear.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte da questão: encontrar e .
Primeiro, , ou a imagem de , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores do domínio. A dimensão da imagem é conhecida como o posto de .
Já o núcleo de , , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero por . A dimensão do núcleo é chamada de nulidade de .

Passo 7

Lembre-se do Teorema da Dimensão que relaciona o posto e a nulidade de uma transformação linear:
dim(V) = dim(Im(A)) + dim(N(A))
onde é o espaço vetorial de partida.

Passo 8

Para encontrar , precisamos determinar o número de colunas linearmente independentes de (isto é, o posto de ). Isso geralmente envolve reduzir a matriz à sua forma escalonada por linhas e contar o número de pivôs.
Para , identificamos o número de soluções livres do sistema homogêneo . Isso também pode ser feito observando a forma escalonada de .

Passo 9

Após calcular ambos, postulamos os valores encontrados para e com base nas etapas acima.

Resposta

Seguindo os passos, concluímos que é uma transformação linear. A dimensão da imagem de é igual ao posto de , e a dimensão do núcleo de é igual à nulidade de . Os valores específicos dependem das características da matriz .

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