a) Verifique que é uma transformação linear;
b) Forneça e .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos. A questão está dividida em duas partes: primeiro, precisamos verificar se é uma transformação linear, e depois encontrar as dimensões da imagem de ( ) e do núcleo de ( ). Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como verificar suas propriedades e calcular as dimensões mencionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para .

Passo 3

Propriedade 1: Adição de vetores
Vamos supor que e são vetores no domínio de . Segundo a propriedade, devemos ter:
Se isso for verdadeiro para quaisquer vetores e , a transformação respeita a adição.

Passo 4

Propriedade 2: Multiplicação por escalar
Agora, vamos considerar um escalar e um vetor no domínio de . A segunda propriedade exige que:
Se isso for válido para qualquer escalar e qualquer vetor , então respeita a multiplicação por escalar.

Passo 5

Se ambas as propriedades acima forem satisfeitas, concluímos que é realmente uma transformação linear. Caso contrário, não seria linear.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte da questão: encontrar e .
Primeiro, , ou a imagem de , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores do domínio. A dimensão da imagem é conhecida como o posto de .
Já o núcleo de , , é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero por . A dimensão do núcleo é chamada de nulidade de .

Passo 7

Lembre-se do Teorema da Dimensão que relaciona o posto e a nulidade de uma transformação linear:
onde é o espaço vetorial de partida.

Passo 8

Para encontrar , precisamos determinar o número de colunas linearmente independentes de (isto é, o posto de ). Isso geralmente envolve reduzir a matriz à sua forma escalonada por linhas e contar o número de pivôs.
Para , identificamos o número de soluções livres do sistema homogêneo . Isso também pode ser feito observando a forma escalonada de .

Passo 9

Após calcular ambos, postulamos os valores encontrados para e com base nas etapas acima.

Resposta

Seguindo os passos, concluímos que é uma transformação linear. A dimensão da imagem de é igual ao posto de , e a dimensão do núcleo de é igual à nulidade de . Os valores específicos dependem das características da matriz .

Exercícios relacionados

Sejam e . Determine a matriz tal que
(a) Determine, se possível, a inversa de .
(b) Utilize o item (a) para resolver a equação matricial para .
Mostre que:
(a) se , então o sistema tem uma única solução, dada por
(b) se e , então o sistema não tem solução.
© se e , então o sistema tem infinitas soluções.
(a) ( ) Se o sistema linear admite as soluções e , então também admite como solução, quaisquer que sejam os números reais e .
(b) ( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear tenha somente a solução trivial é que .
© ( ) Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial.
(d) ( ) Se e são soluções do sistema linear , então é solução de .
(e) ( ) Se é uma matriz invertível tal que , então os sistemas lineares e são equivalentes.
(f) ( ) Se é uma matriz tal que , então os sistemas lineares e são equivalentes.
(g) ( ) Se e são soluções do sistema , então é solução de .
(h) ( ) Se é uma solução do sistema e é uma solução do sistema , então é solução de .
(i) ( ) Seja uma matriz quadrada de ordem . Se o sistema é compatível determinado, então o sistema é compatível determinado.
(j) ( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(k) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
(l) ( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
(m) ()Seja uma matriz quadrada de ordem . Se o sistema linear é incompatível, então a matriz não é invertível.
(n) ( ) Seja uma matriz quadrada de ordem . Se o sistema linear é determinado, então é linha equivalente à matriz identidade .