a) Verifique que
é uma transformação linear;
b) Forneça
e
.
b) Forneça
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos. A questão está dividida em duas partes: primeiro, precisamos verificar se
é uma transformação linear, e depois encontrar as dimensões da imagem de
(
) e do núcleo de
(
). Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, como verificar suas propriedades e calcular as dimensões mencionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se satisfaz duas propriedades:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para
.
Passo 3
Propriedade 1: Adição de vetores
Vamos supor que
e
são vetores no domínio de
. Segundo a propriedade, devemos ter:
Se isso for verdadeiro para quaisquer vetores
e
, a transformação
respeita a adição.
Passo 4
Propriedade 2: Multiplicação por escalar
Agora, vamos considerar um escalar
e um vetor
no domínio de
. A segunda propriedade exige que:
Se isso for válido para qualquer escalar
e qualquer vetor
, então
respeita a multiplicação por escalar.
Passo 5
Se ambas as propriedades acima forem satisfeitas, concluímos que
é realmente uma transformação linear. Caso contrário,
não seria linear.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte da questão: encontrar
e
.
Primeiro,
, ou a imagem de
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a vetores do domínio. A dimensão da imagem é conhecida como o posto de
.
Já o núcleo de
,
, é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero por
. A dimensão do núcleo é chamada de nulidade de
.
Passo 7
Lembre-se do Teorema da Dimensão que relaciona o posto e a nulidade de uma transformação linear:
onde
é o espaço vetorial de partida.
Passo 8
Para encontrar
, precisamos determinar o número de colunas linearmente independentes de
(isto é, o posto de
). Isso geralmente envolve reduzir a matriz
à sua forma escalonada por linhas e contar o número de pivôs.
Para
, identificamos o número de soluções livres do sistema homogêneo
. Isso também pode ser feito observando a forma escalonada de
.
Passo 9
Após calcular ambos, postulamos os valores encontrados para
e
com base nas etapas acima.
Resposta
Seguindo os passos, concluímos que
é uma transformação linear. A dimensão da imagem de
é igual ao posto de
, e a dimensão do núcleo de
é igual à nulidade de
. Os valores específicos dependem das características da matriz
.