La región acotada por las gráfica de y = x^4, y y = 1 gira alrededor de la recta y = 1. Calcule el volumen del sólido resultante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que resulta quando a região limitada pelas curvas e gira em torno da reta . Vamos usar o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Igualamos a :
Então, o intervalo de integração será de a .

Passo 3

Agora, vamos entender como calcular o volume. Como estamos girando em torno de uma reta horizontal ( ), usamos o método dos anéis (washers). A fórmula geral para o volume é:
Onde:
  • é o raio externo (distância da curva mais externa até a reta de rotação).
  • é o raio interno (distância da curva mais interna até a reta de rotação).
No nosso caso, a curva externa é e a interna é . A distância de cada uma até a reta é:
áçã

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Como a função é par (símétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar calculando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
Integrando termo a termo:
Avaliando de 0 a 1:
Calculando os valores:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido resultante é .

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