La región acotada por las gráfica de , y gira alrededor de la recta . Calcule el volumen del sólido resultante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que resulta quando a região limitada pelas curvas e gira em torno da reta . Vamos usar o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Igualamos a :
Então, o intervalo de integração será de a .

Passo 3

Agora, vamos entender como calcular o volume. Como estamos girando em torno de uma reta horizontal ( ), usamos o método dos anéis (washers). A fórmula geral para o volume é:
Onde:
  • é o raio externo (distância da curva mais externa até a reta de rotação).
  • é o raio interno (distância da curva mais interna até a reta de rotação).
No nosso caso, a curva externa é e a interna é . A distância de cada uma até a reta é:
áçã

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Como a função é par (símétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar calculando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
Integrando termo a termo:
Avaliando de 0 a 1:
Calculando os valores:
Portanto:

Resposta

O volume do sólido resultante é .

Exercícios relacionados

Para comprimir un resorte de longitud natural a una longitud de se requiere una fuerza de 25 N. Calcule el trabajo realizado al comprimir el resorte desde su longitud natural a una de 0,70 m.
Derive as funções aplicando os teoremas ou regras de derivação:
Una población de bacterias crece a un ritmo en días. Se sabe que inicialmente hay 1000 bacterias.
e. Hallar la función que expresa la cantidad de bacterias que habrá en un instante t cualquiera.
Una partícula se mueve con velocidad variable en función de la posición según la expresión en y las variables posición y tiempo se relacionan mediante la ecuación ( en segundos).
i. Calcular el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo [0,5].