La región acotada por las gráfica de
, y
gira alrededor de la recta
. Calcule el volumen del sólido resultante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que resulta quando a região limitada pelas curvas
e
gira em torno da reta
. Vamos usar o cálculo de volumes por métodos de integração, especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Igualamos
a
:
Então, o intervalo de integração será de
a
.
Passo 3
Agora, vamos entender como calcular o volume. Como estamos girando em torno de uma reta horizontal (
), usamos o método dos anéis (washers). A fórmula geral para o volume é:
Onde:
-
é o raio externo (distância da curva mais externa até a reta de rotação). -
é o raio interno (distância da curva mais interna até a reta de rotação).
No nosso caso, a curva externa é
e a interna é
. A distância de cada uma até a reta
é:
Passo 4
Substituindo na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Como a função
é par (símétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar calculando de 0 a 1 e multiplicando por 2:
Integrando termo a termo:
Avaliando de 0 a 1:
Calculando os valores:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido resultante é
.
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(
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