Una población de bacterias crece a un ritmo p'(t) = 3000 / (1 + 0,25 t) en días. Se sabe que inicialmente hay 1000 bacterias.
e. Hallar la función p: p(t) que expresa la cantidad de bacterias que habrá en un instante t cualquiera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma população de bactérias que cresce a uma certa taxa, dada pela função , onde é o tempo em dias. Sabemos também que no início, ou seja, quando , há 1000 bactérias. Nosso objetivo é encontrar a função que nos diz quantas bactérias teremos em qualquer instante .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a derivada de em relação a , ou seja, ela nos mostra a taxa de crescimento das bactérias. Para encontrar , precisamos integrar em relação a .

Passo 3

Vamos escrever a integral que nos dará :
Substituindo na integral:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Para resolver a integral , podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 5

Substituindo e na integral:
Simplificando:

Passo 6

A integral de em relação a é o logaritmo natural de :
Voltando para a variável original :

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , :
Como , temos:

Resposta

Então, a função que expressa a quantidade de bactérias em qualquer instante é:

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