Una población de bacterias crece a un ritmo
en días. Se sabe que inicialmente hay 1000 bacterias.
e. Hallar la función
que expresa la cantidad de bacterias que habrá en un instante t cualquiera.
e. Hallar la función
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma população de bactérias que cresce a uma certa taxa, dada pela função
, onde
é o tempo em dias. Sabemos também que no início, ou seja, quando
, há 1000 bactérias. Nosso objetivo é encontrar a função
que nos diz quantas bactérias teremos em qualquer instante
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é a derivada de
em relação a
, ou seja, ela nos mostra a taxa de crescimento das bactérias. Para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
.
Passo 3
Vamos escrever a integral que nos dará
:
Substituindo
na integral:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Para resolver a integral
, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Passo 5
Substituindo
e
na integral:
Simplificando:
Passo 6
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
:
Voltando para a variável original
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Como
, temos:
Resposta
Então, a função que expressa a quantidade de bactérias em qualquer instante
é: