Una partícula se mueve con velocidad variable en función de la posición según la expresión
en
y las variables posición y tiempo se relacionan mediante la ecuación
(
en segundos).
i. Calcular el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo [0,5].
i. Calcular el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo [0,5].
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move com uma velocidade que depende da posição, dada por
metros por segundo, onde
está em metros. Além disso, a posição
e o tempo
estão relacionados pela equação
, onde
está em segundos. Nosso objetivo é calcular o deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 0 a 5 segundos.
Passo 2
Vamos começar encontrando a expressão para a posição
em função do tempo. Temos a equação:
Para isolar
, subtraímos
de ambos os lados:
Isso nos dá a posição da partícula em qualquer instante de tempo
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a velocidade
em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, mas aqui a velocidade também está dada em termos de
:
Como já temos
, podemos substituir
na expressão da velocidade:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão para
:
Então, a velocidade em função do tempo é:
Passo 5
O deslocamento
da partícula no intervalo de tempo de 0 a 5 segundos é dado pela diferença entre a posição final
e a posição inicial
:
Vamos calcular
e
usando a expressão
.
Passo 6
Calculando
:
Calculando
:
Passo 7
Agora, encontramos o deslocamento:
Resposta
O deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 0 a 5 segundos é de
metros.