Una partícula se mueve con velocidad variable en función de la posición según la expresión en y las variables posición y tiempo se relacionan mediante la ecuación ( en segundos).
i. Calcular el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo [0,5].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que se move com uma velocidade que depende da posição, dada por metros por segundo, onde está em metros. Além disso, a posição e o tempo estão relacionados pela equação , onde está em segundos. Nosso objetivo é calcular o deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 0 a 5 segundos.

Passo 2

Vamos começar encontrando a expressão para a posição em função do tempo. Temos a equação:
Para isolar , subtraímos de ambos os lados:
Isso nos dá a posição da partícula em qualquer instante de tempo .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a velocidade em função do tempo. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, mas aqui a velocidade também está dada em termos de :
Como já temos , podemos substituir na expressão da velocidade:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão para :
Então, a velocidade em função do tempo é:

Passo 5

O deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 0 a 5 segundos é dado pela diferença entre a posição final e a posição inicial :
Vamos calcular e usando a expressão .

Passo 6

Calculando :
Calculando :

Passo 7

Agora, encontramos o deslocamento:

Resposta

O deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 0 a 5 segundos é de metros.

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