Um laboratório que fabrica comprimidos analgésicos anuncia que seu remédio contra dor de cabeça leva em média 14 minutos para aliviar a dor, com desvio padrão de 5 minutos. Um médico sustenta que o tempo é maior e seleciona aleatoriamente 40 pacientes. Pede a eles que tomem tais pílulas quando tiverem dor de cabeça, anotando o tempo (em minutos) até o alívio da dor. Após coletar todas as respostas, ele verifica que o tempo médio de alívio para esses pacientes foi de 19 minutos. Estes resultados confirmam a afirmação feita pelo laboratório? Faça as suposições necessárias e use um nível de significância 0,05 . ( : há evidência suficiente para confirmar a suspeita do médico de que o tempo para o analgésico aliviar a dor é maior do que 14 minutos. )

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um laboratório que afirma que seu analgésico alivia a dor de cabeça em, em média, 14 minutos, com um desvio padrão de 5 minutos. O médico suspeita que esse tempo pode ser maior e, para testar isso, selecionou 40 pacientes que usaram o remédio. A média observada foi de 19 minutos. Queremos verificar se esses resultados confirmam a suspeita do médico de que o tempo médio é maior que 14 minutos. Para isso, vamos utilizar o teste de hipóteses para a média, assumindo que os dados seguem uma distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste. A hipótese nula ( ) representa a afirmação do laboratório, e a hipótese alternativa ( ) representa a suspeita do médico.

Passo 3

Definimos o nível de significância . Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de rejeitar a hipótese nula quando ela for verdadeira.

Passo 4

Como o tamanho da amostra é 40, que é maior que 30, podemos utilizar a distribuição normal para aproximar a distribuição da média amostral. Vamos calcular o erro padrão da média ( ) usando a fórmula:

Passo 5

Agora, calculamos o valor do teste estatístico , que mede quantos desvios padrão a média amostral está afastada da média hipotética.

Passo 6

Determinado o valor de , precisamos comparar com o valor crítico da distribuição normal para no teste unilateral (à direita). O valor crítico é aproximadamente 1,645.

Passo 7

Como o valor calculado é muito maior que o valor crítico , rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Há evidência suficiente para confirmar a suspeita do médico de que o tempo para o analgésico aliviar a dor é maior do que 14 minutos.

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