Seja B=e1, e2, e3 uma base de um espaço vetorial real V. Sendo F, G in L(V) dados por F(e1)=e1+e3, F(e2)=e1+e3, F(e3)=e2, G(e1)=2 e1+e3, G(e2)=e1 e G(e3)=e2-3 e1, determinar em relação à base B as matrizes dos operadores F e G.

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício de álgebra linear. A gente tem uma base de um espaço vetorial real e dois operadores lineares e . Nosso objetivo é encontrar as matrizes desses operadores em relação à base . Para isso, vamos precisar entender como representar operadores lineares como matrizes usando as ações deles nos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de um operador linear em relação a uma base, a gente precisa ver como esse operador transforma cada vetor da base. Cada imagem de um vetor da base será uma combinação linear dos vetores da base, e os coeficientes dessa combinação formam as colunas da matriz.

Passo 3

Vamos começar com o operador F(e1) = e1 + e3 . Ele está definido da seguinte forma:
F(e2) = e1 + e3
F(e3) = e2
Cada imagem será uma combinação dos vetores da base . Vamos identificar os coeficientes dessas combinações.

Passo 4

Para 1 cdot e1 + 0 cdot e2 + 1 cdot e3 , os coeficientes são:
1 0 1
Então, a primeira coluna da matriz de será:

Passo 5

Para 1 cdot e1 + 0 cdot e2 + 1 cdot e3 , os coeficientes são os mesmos:
1 0 1
A segunda coluna da matriz de será também:

Passo 6

Para 0 cdot e1 + 1 cdot e2 + 0 cdot e3 , os coeficientes são:
0 1 0
A terceira coluna da matriz de será:

Passo 7

Agora, juntando todas as colunas, a matriz de [ F ]B = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 em relação à base fica:

Passo 8

Vamos repetir o mesmo processo para o operador G(e1) = 2e1 + e3 . Ele está definido da seguinte forma:
G(e2) = e1
G(e3) = e2 - 3e1

Passo 9

Para 2 cdot e1 + 0 cdot e2 + 1 cdot e3 , os coeficientes são:
2 0 1
A primeira coluna da matriz de será:

Passo 10

Para 1 cdot e1 + 0 cdot e2 + 0 cdot e3 , os coeficientes são:
1 0 0
A segunda coluna da matriz de será:

Passo 11

Para -3 cdot e1 + 1 cdot e2 + 0 cdot e3 , os coeficientes são:
-3 1 0
A terceira coluna da matriz de será:

Passo 12

Agora, juntando todas as colunas, a matriz de [ G ]B = 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 em relação à base fica:

Resposta

A matriz do operador [ F ]B = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 em relação à base [ G ]B = 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 é:
E a matriz do operador em relação à base é:

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