Seja uma base de um espaço vetorial real V. Sendo dados por e , determinar em relação à base as matrizes dos operadores e .
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício de álgebra linear. A gente tem uma base de um espaço vetorial real e dois operadores lineares e . Nosso objetivo é encontrar as matrizes desses operadores em relação à base . Para isso, vamos precisar entender como representar operadores lineares como matrizes usando as ações deles nos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de um operador linear em relação a uma base, a gente precisa ver como esse operador transforma cada vetor da base. Cada imagem de um vetor da base será uma combinação linear dos vetores da base, e os coeficientes dessa combinação formam as colunas da matriz.
Passo 3
Vamos começar com o operador . Ele está definido da seguinte forma:
Cada imagem será uma combinação dos vetores da base . Vamos identificar os coeficientes dessas combinações.
Passo 4
Para , os coeficientes são:
Então, a primeira coluna da matriz de será:
Passo 5
Para 1 cdot e1 + 0 cdot e2 + 1 cdot e3 , os coeficientes são os mesmos:
1 0 1
A segunda coluna da matriz de será também:
Passo 6
Para 0 cdot e1 + 1 cdot e2 + 0 cdot e3 , os coeficientes são:
0 1 0
A terceira coluna da matriz de será:
Passo 7
Agora, juntando todas as colunas, a matriz de [ F ]B = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 em relação à base fica:
Passo 8
Vamos repetir o mesmo processo para o operador G(e1) = 2e1 + e3 . Ele está definido da seguinte forma:
G(e2) = e1
G(e3) = e2 - 3e1
Passo 9
Para 2 cdot e1 + 0 cdot e2 + 1 cdot e3 , os coeficientes são:
2 0 1
A primeira coluna da matriz de será:
Passo 10
Para 1 cdot e1 + 0 cdot e2 + 0 cdot e3 , os coeficientes são:
1 0 0
A segunda coluna da matriz de será:
Passo 11
Para -3 cdot e1 + 1 cdot e2 + 0 cdot e3 , os coeficientes são:
-3 1 0
A terceira coluna da matriz de será:
Passo 12
Agora, juntando todas as colunas, a matriz de [ G ]B = 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 em relação à base fica:
Resposta
A matriz do operador [ F ]B = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 em relação à base [ G ]B = 2 & 1 & -3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 é: