Seja o operador linear do tal que e .
Determinar tal que ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear que atua no espaço . Ele transforma vetores de em outros vetores de . A gente sabe como age nos vetores e , que são os vetores canônicos dessa base. O que precisamos fazer é encontrar os valores de e tais que quando aplicamos no vetor , o resultado seja .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz. Nesse caso, pode ser escrita como uma matriz tal que:
Onde são números reais que vamos descobrir.

Passo 3

Sabemos que . Aplicando a matriz nesse vetor:
Isso nos dá que e .

Passo 4

Também sabemos que . Aplicando a matriz nesse vetor:
Então, e .

Passo 5

Agora que encontramos todos os elementos da matriz , ela fica:
Então, para qualquer vetor , temos:

Passo 6

Queremos encontrar tal que . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 8

Agora que temos , voltamos para a expressão que encontramos para :

Resposta

Portanto, o vetor que satisfaz é:

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