Seja
o operador linear do
tal que
e
.
Determinar
tal que
;
Determinar
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um operador linear
que atua no espaço
. Ele transforma vetores de
em outros vetores de
. A gente sabe como
age nos vetores
e
, que são os vetores canônicos dessa base. O que precisamos fazer é encontrar os valores de
e
tais que quando aplicamos
no vetor
, o resultado seja
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz. Nesse caso,
pode ser escrita como uma matriz
tal que:
Onde
são números reais que vamos descobrir.
Passo 3
Sabemos que
. Aplicando a matriz
nesse vetor:
Isso nos dá que
e
.
Passo 4
Também sabemos que
. Aplicando a matriz
nesse vetor:
Então,
e
.
Passo 5
Agora que encontramos todos os elementos da matriz
, ela fica:
Então, para qualquer vetor
, temos:
Passo 6
Queremos encontrar
tal que
. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 7
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 8
Agora que temos
, voltamos para a expressão que encontramos para
:
Resposta
Portanto, o vetor
que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Um laboratório que fabrica comprimidos analgésicos anuncia que seu remédio contra dor de cabeça leva em média 14 minutos para aliviar a dor, com desvio padrão de 5 minutos. Um médico sustenta que o tempo é maior e seleciona aleatoriamente 40 pacientes. Pede a eles que tomem tais pílulas quando tiverem dor de cabeça, anotando o tempo (em minutos) até o alívio da dor. Após coletar todas as respostas, ele verifica que o tempo médio de alívio para esses pacientes foi de 19 minutos. Estes resultados confirmam a afirmação feita pelo laboratório? Faça as suposições necessárias e use um nível de significância 0,05 . (
: há evidência suficiente para confirmar a suspeita do médico de que o tempo para o analgésico aliviar a dor é maior do que 14 minutos. )
Seja
uma base de um espaço vetorial real V. Sendo
dados por
e
, determinar em relação à base
as matrizes dos operadores
e
.
Nos Exercícios 1-4, encontre equaçes vetoriais e paramétricas da reta contendo o ponto e paralela ao vetor. Ponto:
; vetor:
Mostre que um operador ortogonal no plano preserva a distância entre dois pontos.