Seja
o operador linear do
tal que
e
.
Determinar
tal que
;
Determinar
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um operador linear
que atua no espaço
. Ele transforma vetores de
em outros vetores de
. A gente sabe como
age nos vetores
e
, que são os vetores canônicos dessa base. O que precisamos fazer é encontrar os valores de
e
tais que quando aplicamos
no vetor
, o resultado seja
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz. Nesse caso,
pode ser escrita como uma matriz
tal que:
Onde
são números reais que vamos descobrir.
Passo 3
Sabemos que
. Aplicando a matriz
nesse vetor:
Isso nos dá que
e
.
Passo 4
Também sabemos que
. Aplicando a matriz
nesse vetor:
Então,
e
.
Passo 5
Agora que encontramos todos os elementos da matriz
, ela fica:
Então, para qualquer vetor
, temos:
Passo 6
Queremos encontrar
tal que
. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 7
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Passo 8
Agora que temos
, voltamos para a expressão que encontramos para
:
Resposta
Portanto, o vetor
que satisfaz
é: