Seja F o operador linear do R^2 tal que F(1,0)=(2,1) e F(0,1)=(1,4).
Determinar (x, y) in R^2 tal que F(x, y)=(2,3);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear que atua no espaço . Ele transforma vetores de em outros vetores de . A gente sabe como age nos vetores e , que são os vetores canônicos dessa base. O que precisamos fazer é encontrar os valores de e tais que quando aplicamos no vetor , o resultado seja .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer operador linear pode ser representado por uma matriz. Nesse caso, A = a & b c & d pode ser escrita como uma matriz tal que:
Onde são números reais que vamos descobrir.

Passo 3

Sabemos que A 1 0 = a c = 2 1 . Aplicando a matriz nesse vetor:
Isso nos dá que e .

Passo 4

Também sabemos que A 0 1 = b d = 1 4 . Aplicando a matriz nesse vetor:
Então, e .

Passo 5

Agora que encontramos todos os elementos da matriz A = 2 & 1 1 & 4 , ela fica:
F(x, y) = A x y = 2x + y x + 4y
Então, para qualquer vetor , temos:

Passo 6

Queremos encontrar 2x + y = 2 x + 4y = 3 tal que . Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da primeira equação:
2x + y = 2 Rightarrow y = 2 - 2x
Agora, substituímos x + 4(2 - 2x) = 3 x + 8 - 8x = 3 -7x + 8 = 3 -7x = 3 - 8 -7x = -5 x = 57 na segunda equação:

Passo 8

Agora que temos y = 2 - 2x = 2 - 2( 57 ) = 2 - 107 = 147 - 107 = 47 , voltamos para a expressão que encontramos para :

Resposta

Portanto, o vetor ( 57, 47 ) que satisfaz é:

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