O lado de um cubo é medido com um erro máximo possível de 2 %. Use diferenciais para estimar o percentagem de erro máxima no volume computado.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre como erros nas medidas afetam o cálculo do volume de um cubo. O enunciado nos dá que o lado do cubo tem um erro máximo de . Vamos usar diferenciais para estimar qual será o erro máximo percentual no volume calculado.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o volume de um cubo é calculado pela fórmula:
onde é o comprimento de um lado do cubo.

Passo 3

Queremos descobrir como um pequeno erro em afeta . Para isso, usamos diferenciais. Calculamos a derivada de em relação a :

Passo 4

O diferencial nos aproxima de quanto muda com uma pequena mudança em :
Aqui, é o erro na medida de .

Passo 5

Para encontrar a porcentagem de erro no volume, dividimos por :
Isso mostra que o erro relativo em é três vezes o erro relativo em .

Passo 6

Como o erro máximo em é , multiplicamos por 3:
Portanto, o erro máximo percentual no volume é .

Resposta

O erro máximo percentual no volume computado é de aproximadamente .

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