O lado de um cubo é medido com um erro máximo possível de
. Use diferenciais para estimar o percentagem de erro máxima no volume computado.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre como erros nas medidas afetam o cálculo do volume de um cubo. O enunciado nos dá que o lado do cubo tem um erro máximo de
. Vamos usar diferenciais para estimar qual será o erro máximo percentual no volume calculado.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o volume
de um cubo é calculado pela fórmula:
onde
é o comprimento de um lado do cubo.
Passo 3
Queremos descobrir como um pequeno erro em
afeta
. Para isso, usamos diferenciais. Calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
O diferencial
nos aproxima de quanto
muda com uma pequena mudança em
:
Aqui,
é o erro na medida de
.
Passo 5
Para encontrar a porcentagem de erro no volume, dividimos
por
:
Isso mostra que o erro relativo em
é três vezes o erro relativo em
.
Passo 6
Como o erro máximo em
é
, multiplicamos por 3:
Portanto, o erro máximo percentual no volume é
.
Resposta
O erro máximo percentual no volume computado é de aproximadamente
.