Resolva os PVIs abaixo:
b)
, sendo
e
, e sabendo que
é solução da equação homogênea associada.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é do tipo não homogênea. O enunciado nos dá a equação
, com as condições iniciais
e
. Além disso, sabemos que uma solução da equação homogênea associada é
. Então, vamos precisar usar técnicas para encontrar a solução geral dessa equação diferencial, combinando a solução homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na equação homogênea associada, que é
. Sabemos que
é uma solução dessa equação. Para encontrar a segunda solução
, usamos o método de redução de ordem. Assumimos que
, onde
é uma função que precisamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Então, a equação para
fica:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem para
, que pode não ter uma solução simples em termos de funções elementares. Portanto, a segunda solução
é dada por:
onde a integral não tem uma expressão fechada conhecida.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Como o lado direito é
, que é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma
, onde
e
são constantes a serem determinadas.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução geral da equação homogênea com a solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Primeira condição
:
Segunda condição
:
Para
:
Isso gera uma inconsistência, o que indica que a segunda solução
não contribui para a derivada no ponto
. Portanto, a constante
não pode ser determinada a partir das condições iniciais dadas, o que sugere que a solução completa depende de expressões integrais que são complexas de avaliar no ponto inicial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, considerando as condições iniciais, é:
onde
é uma constante que, devido à complexidade da integral, não pode ser determinada diretamente a partir das condições iniciais fornecidas.