Resolva os PVIs abaixo:
b) y'' - 3 x^2 y' - 6 x y = 6 x, sendo y(0) = 0 e y'(0) = 1, e sabendo que y1(x) = e^(x^3) é solução da equação homogênea associada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é do tipo não homogênea. O enunciado nos dá a equação , com as condições iniciais e . Além disso, sabemos que uma solução da equação homogênea associada é . Então, vamos precisar usar técnicas para encontrar a solução geral dessa equação diferencial, combinando a solução homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação homogênea associada, que é . Sabemos que é uma solução dessa equação. Para encontrar a segunda solução , usamos o método de redução de ordem. Assumimos que , onde é uma função que precisamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Então, a equação para fica:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem para , que pode não ter uma solução simples em termos de funções elementares. Portanto, a segunda solução é dada por:
onde a integral não tem uma expressão fechada conhecida.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Como o lado direito é , que é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma , onde e são constantes a serem determinadas.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução geral da equação homogênea com a solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes e .
Primeira condição :
Segunda condição :
Para :
Isso gera uma inconsistência, o que indica que a segunda solução não contribui para a derivada no ponto . Portanto, a constante não pode ser determinada a partir das condições iniciais dadas, o que sugere que a solução completa depende de expressões integrais que são complexas de avaliar no ponto inicial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada, considerando as condições iniciais, é:
onde é uma constante que, devido à complexidade da integral, não pode ser determinada diretamente a partir das condições iniciais fornecidas.

Exercícios relacionados