Os lados
e
de um retangulo estaic satiando a taxas constantes de
e
. respectivamente. A que taxa estará variando a ár ia do retangulo no instante em que
e
?
Passo 1
Vamos lá! Temos um retângulo cujos lados
e
estão aumentando a taxas constantes de
e
, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da área
desse retângulo no instante em que
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas relacionadas, que nos permite relacionar as taxas de variação de diferentes quantidades que estão conectadas por uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um retângulo. A área
é dada pela multiplicação dos lados:
Como tanto
quanto
estão variando com o tempo, a área também vai mudar com o tempo. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação dessa área em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos derivar a expressão da área em relação ao tempo
. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Aqui,
e
são as taxas de varia��ão dos lados
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Substituindo esses valores na equação de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular cada termo:
Somando esses resultados:
Resposta
A taxa de variação da área do retângulo no instante em que
e
é de
.
Exercícios relacionados
Caicule
por derivaçaio implícita.
Determine a derivada da função indicada:
Verifique se a função
é contínua em
. (Valor 3,0 pontos)
Sum e contunua