Os lados e de um retangulo estaic satiando a taxas constantes de e . respectivamente. A que taxa estará variando a ár ia do retangulo no instante em que e ?

Passo 1

Vamos lá! Temos um retângulo cujos lados e estão aumentando a taxas constantes de e , respectivamente. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da área desse retângulo no instante em que e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas relacionadas, que nos permite relacionar as taxas de variação de diferentes quantidades que estão conectadas por uma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um retângulo. A área é dada pela multiplicação dos lados:
Como tanto quanto estão variando com o tempo, a área também vai mudar com o tempo. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação dessa área em relação ao tempo, ou seja, .

Passo 3

Para encontrar , vamos derivar a expressão da área em relação ao tempo . Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Aqui, e são as taxas de varia��ão dos lados e , respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Substituindo esses valores na equação de :

Passo 5

Agora, vamos calcular cada termo:
Somando esses resultados:

Resposta

A taxa de variação da área do retângulo no instante em que e é de .

Exercícios relacionados

Caicule por derivaçaio implícita.
Determine a derivada da função indicada:
Verifique se a função é contínua em . (Valor 3,0 pontos)

Sum e contunua