A^2 X=A(A X)=A(lambda X)=lambda(A X)=(lambda(lambda X))=lambda^2 X(lambda^2 é um autovalor de A^2)
Se k é um inteiro positivo, e lambda é um autovalor de uma matriz A e X é um autovetor associado, então lambda^k é um autovalor de A^k e X é um autovetor.
Encontre os autovalores de A^9 se
A=[cccc 1 & 3 & 7 & 11 0 & -1 / 2 & 3 & 8 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 2 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema sobre autovalores de matrizes. O enunciado nos dá uma matriz e nos pede para encontrar os autovalores de . Para isso, vamos usar o fato de que se é um autovalor de , então é um autovalor de . Então, nossa missão é encontrar os autovalores de e, em seguida, elevar esses valores à nona potência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para matrizes triangulares (como a que temos aqui), os autovalores são os elementos da diagonal principal. Olhando para a matriz A = 1 & 3 & 7 & 11 0 & -12 & 3 & 8 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 2 :
Os elementos da diagonal principal são , , , e . Portanto, esses são os autovalores de .

Passo 3

Agora que sabemos os autovalores de , que são , , e , vamos calcular os autovalores de usando a regra .

Passo 4

Aplicando a regra lambda1^9 = 1^9 = 1 com lambda2^9 = (-12)^9 = -1512 :
lambda3^9 = 0^9 = 0
lambda4^9 = 2^9 = 512

Resposta

Os autovalores de são , , e .

Exercícios relacionados