Y=(x, y) ; y=x^2 é subespaço de R^2 ? Justifique.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para saber se o conjunto Y = (x, y) ; y = x^2 é um subespaço de R^2. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se Y satisfaz as três condições para ser um subespaço: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se Y contém o vetor zero. O vetor zero em R^2 é (0, 0). Substituindo x = 0 na equação y = x^2, temos y = 0^2 = 0. Então, (0, 0) in Y. Até aqui, tudo certo!

Passo 3

Agora, vamos verificar se Y é fechado sob adição. Isso quer dizer que se pegarmos dois vetores quaisquer em Y, sua soma também deve estar em Y. Sejam (x1, y1) e (x2, y2) em Y, então y1 = x1^2 e y2 = x2^2. A soma desses vetores é (x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, x1^2 + x2^2). Para que essa soma esteja em Y, precisaríamos que x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2, o que só é verdade se x1x2 = 0. Como isso nem sempre acontece, Y não é fechado sob adição.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos uma condição falha, vamos verificar a última. Verificamos se Y é fechado sob multiplicação por escalar. Se pegarmos um vetor (x, y) in Y e um escalar k, temos k(x, y) = (kx, ky). Para que isso esteja em Y, ky precisa ser igual a (kx)^2 = k^2x^2. Isso só ocorre se k=0 ou k=1, o que também não é geral.

Resposta

Como Y não é fechado sob adição e nem sob multiplicação por escalar, podemos concluir que Y = (x, y) ; y = x^2 não é um subespaço de R^2.

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