O plano x=8 m é percorrido por uma corrente de 25 mA / m ao longo de az, enquanto a linha x=2 m e y=-3 m é percorrida por uma corrente filamentar de 5 mA ao longo de âz. Determine o campo magnético no ponto (4 m, 3 m, 2 m).

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos duas correntes:
  1. Uma corrente plana de intensidade 25 , mA/m ao longo da direção az no plano x = 8 , m.
  2. Uma corrente filamentar (uma única linha de corrente) de 5 mA também na direção az, localizada na linha x = 2 , m e y = -3 , m.
Precisamos determinar o campo magnético no ponto (4 , m, 3 , m, 2 , m). Para isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart e o princípio de superposição dos campos magnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo magnético devido à corrente plana. Uma corrente por unidade de comprimento em um plano gera um campo magnético que pode ser determinado usando a lei de Ampère ou a Lei de Biot-Savart adaptada para uma distribuição contínua de corrente.
A fórmula para o campo magnético de uma corrente infinita é:
B = mu0 I2pi r
onde:
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo ( 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A),
  • I é a corrente,
  • r é a distância perpendicular ao fio.
No caso de uma corrente por unidade de comprimento, ajustamos a fórmula para:
B = mu0 K2pi r
onde K é a densidade de corrente por unidade de comprimento.

Passo 3

Vamos identificar a distância r do ponto (4, 3, 2) ao plano x = 8 , m. Já que o plano está paralelo ao eixo y-z, a distância perpendicular é a diferença nas coordenadas x:
r = |8 , m - 4 , m| = 4 , m
Agora, substituindo na fórmula do campo magnético da corrente plana:
Bplano = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A times 25 times 10^-3 , A/m2pi times 4 , m = 4pi times 10^-7 times 25 times 10^-38pi , T = 25 times 10^-102 , T = 12,5 times 10^-10 , T

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo magnético devido à corrente filamentar de 5 mA localizada na linha x = 2 , m e y = -3 , m. Usaremos a fórmula do campo magnético de uma corrente infinita:
B = mu0 I2pi d
onde d é a distância do ponto à linha de corrente.
Primeiro, calculamos a distância d utilizando a fórmula da distância entre dois pontos no plano xy:
d = raiz(4 - 2)^2 + (3 - (-3))^2 = raiz2^2 + 6^2 = raiz4 + 36 = raiz40 approx 6,325 , m
Substituindo na fórmula do campo magnético:
Bfilamentar = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A times 5 times 10^-3 , A2pi times 6,325 , m = 4pi times 10^-7 times 5 times 10^-312,65pi , T = 20 times 10^-1012,65 , T approx 1,58 times 10^-9 , T

Passo 5

Finalmente, aplicamos o princípio de superposição dos campos magnéticos, que nos diz que o campo total é a soma vetorial dos campos individuais. Considerando que ambas as correntes estão na direção az, os campos magnéticos serão perpendiculares a essa direção.
Assim, somamos os valores encontrados:
Btotal = Bplano + Bfilamentar = 12,5 times 10^-10 , T + 1,58 times 10^-9 , T = 1,73 times 10^-9 , T

Resposta

O campo magnético no ponto (4 , m, 3 , m, 2 , m) é de aproximadamente 1,73 times 10^-9 , T na direção az.

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