Uma lâmina plana com densidade constante rho(x, y)=rho ocupa uma região do plano x y limitada por um caminho fechado simples C. Mostre que seus momentos de inércia em relação aos eixos são
Ix=-rho3 ointC y^3 d x Iy=rho3 ointC x^3 d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Momento de Inércia na Física, usando cálculo multivariável. A gente tem uma lâmina plana com densidade constante rho que está limitada por uma curva fechada simples C. Nosso objetivo aqui é mostrar que os momentos de inércia em relação aos eixos x e y podem ser expressos por integrais de linha envolvendo ointC y^3 d x e ointC x^3 d y, respectivamente. Para isso, vamos precisar entender a definição de momento de inércia e usar o Teorema de Green para transformar integrais de área em integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. O momento de inércia Ix em relação ao eixo x é definido como a integral dupla sobre a área A da lâmina de y^2 vezes a densidade rho. Ou seja:
Ix = rho integral duplaA y^2 , dA
De maneira similar, o momento de inércia Iy em relação ao eixo y é:
Iy = rho integral duplaA x^2 , dA

Passo 3

Agora, para transformar essas integrais de área em integrais de linha, vamos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral dupla sobre uma região A com uma integral de linha ao longo da fronteira C dessa região. A forma geral do Teorema de Green é:
integral duplaA ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = ointC (P , dx + Q , dy)
A gente vai escolher funções P e Q de forma que partial Qpartial x - partial Ppartial y seja igual a y^2 para obter Ix e igual a x^2 para Iy.

Passo 4

Vamos começar com Ix. Queremos que:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^2
Uma escolha conveniente é deixar P = 0 e escolher Q tal que partial Qpartial x = y^2. Isso implica que:
Q = integral y^2 , dx = y^2 x + f(y)
Para simplificar, podemos considerar f(y) = 0, então Q = y^2 x. Portanto, a integral de área fica:
Ix = rho integral duplaA y^2 , dA = rho ointC y^2 x , dy
Mas queremos expressar em termos de y^3 dx, então precisamos ajustar nossa escolha de P e Q.

Passo 5

Vamos refazer a escolha para alinhar com o que queremos. Definimos:
P = -y^33, Q = 0
Com isso, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - ( -3y^23 ) = y^2
Aplicando o Teorema de Green, fica:
Ix = rho integral duplaA y^2 , dA = rho ointC ( -y^33 , dx + 0 , dy ) = -rho3 ointC y^3 , dx

Passo 6

Agora, vamos fazer um raciocínio similar para Iy. Queremos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = x^2
Escolhemos:
P = 0, Q = x^33
Assim, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^23 - 0 = x^2
Aplicando o Teorema de Green:
Iy = rho integral duplaA x^2 , dA = rho ointC ( 0 , dx + x^33 , dy ) = rho3 ointC x^3 , dy

Resposta

Portanto, os momentos de inércia em relação aos eixos x e y são:
Ix = -rho3 ointC y^3 , dx e Iy = rho3 ointC x^3 , dy

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