Uma lâmina plana com densidade constante ocupa uma região do plano limitada por um caminho fechado simples . Mostre que seus momentos de inércia em relação aos eixos são
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Momento de Inércia na Física, usando cálculo multivariável. A gente tem uma lâmina plana com densidade constante que está limitada por uma curva fechada simples . Nosso objetivo aqui é mostrar que os momentos de inércia em relação aos eixos e podem ser expressos por integrais de linha envolvendo e , respectivamente. Para isso, vamos precisar entender a definição de momento de inércia e usar o Teorema de Green para transformar integrais de área em integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. O momento de inércia em relação ao eixo é definido como a integral dupla sobre a área da lâmina de vezes a densidade . Ou seja:
De maneira similar, o momento de inércia em relação ao eixo é:
Passo 3
Agora, para transformar essas integrais de área em integrais de linha, vamos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral dupla sobre uma região com uma integral de linha ao longo da fronteira dessa região. A forma geral do Teorema de Green é:
A gente vai escolher funções e de forma que seja igual a para obter e igual a para .
Passo 4
Vamos começar com . Queremos que:
Uma escolha conveniente é deixar e escolher tal que . Isso implica que:
Para simplificar, podemos considerar , então . Portanto, a integral de área fica:
Mas queremos expressar em termos de , então precisamos ajustar nossa escolha de e .
Passo 5
Vamos refazer a escolha para alinhar com o que queremos. Definimos:
Com isso, temos:
Aplicando o Teorema de Green, fica:
Passo 6
Agora, vamos fazer um raciocínio similar para . Queremos:
Escolhemos:
Assim, temos:
Aplicando o Teorema de Green:
Resposta
Portanto, os momentos de inércia em relação aos eixos e são: