Uma lâmina plana com densidade constante
ocupa uma região do plano
limitada por um caminho fechado simples
. Mostre que seus momentos de inércia em relação aos eixos são
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Momento de Inércia na Física, usando cálculo multivariável. A gente tem uma lâmina plana com densidade constante
que está limitada por uma curva fechada simples
. Nosso objetivo aqui é mostrar que os momentos de inércia em relação aos eixos
e
podem ser expressos por integrais de linha envolvendo
e
, respectivamente. Para isso, vamos precisar entender a definição de momento de inércia e usar o Teorema de Green para transformar integrais de área em integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. O momento de inércia
em relação ao eixo
é definido como a integral dupla sobre a área
da lâmina de
vezes a densidade
. Ou seja:
De maneira similar, o momento de inércia
em relação ao eixo
é:
Passo 3
Agora, para transformar essas integrais de área em integrais de linha, vamos usar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral dupla sobre uma região
com uma integral de linha ao longo da fronteira
dessa região. A forma geral do Teorema de Green é:
A gente vai escolher funções
e
de forma que
seja igual a
para obter
e igual a
para
.
Passo 4
Vamos começar com
. Queremos que:
Uma escolha conveniente é deixar
e escolher
tal que
. Isso implica que:
Para simplificar, podemos considerar
, então
. Portanto, a integral de área fica:
Mas queremos expressar em termos de
, então precisamos ajustar nossa escolha de
e
.
Passo 5
Vamos refazer a escolha para alinhar com o que queremos. Definimos:
Com isso, temos:
Aplicando o Teorema de Green, fica:
Passo 6
Agora, vamos fazer um raciocínio similar para
. Queremos:
Escolhemos:
Assim, temos:
Aplicando o Teorema de Green:
Resposta
Portanto, os momentos de inércia em relação aos eixos
e
são: