Resolva as seguintes inequações modulares:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa inequação: . A gente está lidando com uma inequação que envolve valores absolutos, então o conteúdo aqui é inequações modulares. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com as propriedades dos valores absolutos e dividir a solução em casos dependendo do valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a inequação para facilitar. Temos:
Podemos tentar reescrever de uma forma que facilite o trabalho com o valor absoluto:
Agora, a inequação fica:

Passo 3

Vamos dividir a resolução em dois casos principais com base no valor de : quando e quando . Isso porque o valor absoluto de muda dependendo de ser positivo ou negativo.

Caso 1:

Nesse caso, . A inequação se torna:
Agora, vamos analisar o termo dentro do valor absoluto:
Então, a inequação é:
Precisamos considerar se é positivo ou negativo para remover o valor absoluto.

Subcaso 1.1:

Isso acontece quando ou . Mas como estamos no caso , isso reduz para .
Então, a inequação fica:
Subtraindo de ambos os lados:
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Chamaremos as raízes de e . Como , temos:
Como , a solução desse subcaso é .

Subcaso 1.2:

Isso ocorre quando .
A inequação então fica:
Rearranjando:
A equação não tem raízes reais, já que o discriminante é negativo. Portanto, não existe que satisfaça . Logo, não há solução nesse subcaso.

Caso 2:

Aqui, . A inequação fica:
Primeiro, simplificamos :
Então, a inequação é:
Vamos analisar o sinal de . Como , é positivo e também é positivo, então . Portanto, o valor absoluto pode ser removido:
Rearranjando:
Resolvemos a equação quadrática :
As raízes são e . Como :
Como estamos no caso , a solução é .

Resposta

A solução da inequação é ou seja, , e , aproximadamente .

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