Uma lâmpada pende de um teto ficando a uma altura do solo. Um atleta de altura passa sob a lâmpada se deslocando em linha reta com velocidade constante . Determine a velocidade com que a sobra da parte superior da cabeça do atleta se desloca no solo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lâmpada pendurada a uma altura do chão. Um atleta de altura está passando por baixo da lâmpada, se movendo em linha reta com velocidade constante . Queremos descobrir a velocidade com que a sombra da parte superior da cabeça desse atleta se move no chão.
Aqui, vamos usar conceitos de razões relacionadas e triângulos semelhantes para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagina a lâmpada no teto, o atleta passando por baixo dela, e a sombra da cabeça dele se projetando no chão.
Quando o atleta está em uma posição qualquer, podemos formar dois triângulos semelhantes:
  1. O triângulo formado pela lâmpada, a sombra no chão e o ponto diretamente abaixo da lâmpada.
  2. O triângulo formado pela cabeça do atleta, sua posição no chão e a sombra da cabeça.
Como os triângulos são semelhantes, as proporções entre os lados correspondentes são iguais.

Passo 3

Vamos definir algumas variáveis:
  • : a distância do atleta em relação ao ponto diretamente abaixo da lâmpada no chão.
  • : a distância da sombra da cabeça do atleta em relação ao ponto diretamente abaixo da lâmpada no chão.
Nosso objetivo é encontrar , que é a velocidade da sombra no chão.

Passo 4

Usando os triângulos semelhantes, podemos escrever a proporção:
Aqui, é a altura da lâmpada, é a altura do atleta, é a posição da sombra, e é a posição do atleta.

Passo 5

Vamos resolver essa proporção para relacionar e :
Distribuindo :
Isolando :

Passo 6

Agora, queremos encontrar a velocidade da sombra, . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo :
Sabemos que , já que essa é a velocidade constante do atleta.

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos na equação:

Resposta

A sombra da parte superior da cabeça do atleta se desloca no solo com uma velocidade de .

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