Uma lâmpada pende de um teto ficando a uma altura
do solo. Um atleta de altura
passa sob a lâmpada se deslocando em linha reta com velocidade constante
. Determine a velocidade com que a sobra da parte superior da cabeça do atleta se desloca no solo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lâmpada pendurada a uma altura
do chão. Um atleta de altura
está passando por baixo da lâmpada, se movendo em linha reta com velocidade constante
. Queremos descobrir a velocidade com que a sombra da parte superior da cabeça desse atleta se move no chão.
Aqui, vamos usar conceitos de razões relacionadas e triângulos semelhantes para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagina a lâmpada no teto, o atleta passando por baixo dela, e a sombra da cabeça dele se projetando no chão.
Quando o atleta está em uma posição qualquer, podemos formar dois triângulos semelhantes:
- O triângulo formado pela lâmpada, a sombra no chão e o ponto diretamente abaixo da lâmpada.
- O triângulo formado pela cabeça do atleta, sua posição no chão e a sombra da cabeça.
Como os triângulos são semelhantes, as proporções entre os lados correspondentes são iguais.
Passo 3
Vamos definir algumas variáveis:
-
: a distância do atleta em relação ao ponto diretamente abaixo da lâmpada no chão. -
: a distância da sombra da cabeça do atleta em relação ao ponto diretamente abaixo da lâmpada no chão.
Nosso objetivo é encontrar
, que é a velocidade da sombra no chão.
Passo 4
Usando os triângulos semelhantes, podemos escrever a proporção:
Aqui,
é a altura da lâmpada,
é a altura do atleta,
é a posição da sombra, e
é a posição do atleta.
Passo 5
Vamos resolver essa proporção para relacionar
e
:
Distribuindo
:
Isolando
:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a velocidade da sombra,
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Sabemos que
, já que essa é a velocidade constante do atleta.
Passo 7
Substituindo os valores conhecidos na equação:
Resposta
A sombra da parte superior da cabeça do atleta se desloca no solo com uma velocidade de
.
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