Uma lâmpada de resistência R é conectada no circuito também com uma resistência R mostrado na figura com o interruptor S aberto e o capacitor descarregado. A bateria não tem resistência interna apreciável. Descreva e esboce o gráfico do brilho da lâmpada em função do tempo t após fechar o interruptor? Identifique o brilho do início e depois de muito tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um circuito com uma lâmpada de resistência $ R $, outra resistência de valor $ R $, um capacitor descarregado e uma bateria sem resistência interna considerável. O interruptor $ S $ está aberto inicialmente. A questão pede para descrever e desenhar como o brilho da lâmpada varia com o tempo após fecharmos o interruptor, além de identificar como está o brilho no início e após muito tempo. Vamos precisar entender de circuitos elétricos, resistência, capacitância e como um capacitor se comporta ao ser carregado.

Passo 2

Primeiro, quando fechamos o interruptor, o circuito começa a funcionar. O capacitor, que estava descarregado, começa a carregar. No início, o capacitor age como se fosse um curto-circuito porque não tem carga acumulada ainda. Isso significa que a resistência total no circuito é apenas a soma das duas resistências $ R + R = 2R $.

Passo 3

A corrente inicial $ I_0 $ que passa pelo circuito pode ser calculada pela Lei de Ohm:
I0
onde $ V $ é a tensão da bateria. Esse é o valor máximo da corrente, então a lâmpada brilha mais intensamente no começo.

Passo 4

Conforme o tempo passa, o capacitor começa a se carregar e sua resistência efetiva aumenta. A corrente no circuito diminui à medida que o capacitor acumula carga. A corrente a qualquer tempo $ t $ pode ser expressa por:
t
Aqui, $ RC $ é a constante de tempo do circuito, que determina quão rápido o capacitor carrega.

Passo 5

Como o tempo $ t $ tende ao infinito, o termo exponencial $ e^{-\frac{t}{RC}} $ tende a zero. Isso significa que a corrente $ I(t) $ também tende a zero. Portanto, após muito tempo, a lâmpada deixará de brilhar, pois não há mais corrente passando por ela.

Resposta

O brilho da lâmpada começa alto imediatamente após fechar o interruptor, pois a corrente inicial é máxima. Conforme o tempo passa, o brilho diminui exponencialmente até praticamente zero depois de muito tempo. Graficamente, o brilho começa no valor máximo e decai de forma suave até extinguir-se, seguindo uma curva decrescente exponencial.

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