A lancha de Margaret tem o combustível exatamente necessário para navegar rio acima, até um embarcadouro, a 4 h de viagem. Ao chegar ao embarcadouro, Margaret o encontra fechado e retorna a fio de água, navegando com a corrente, durante 8 h, até chegar ao ponto de partida. A viagem toda levou 12 h. Quanto tempo levaria se a lancha fosse reabastecida de combustível no embarcadouro rio acima?
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui! Temos uma lancha que consegue ir rio acima em 4 horas até um embarcadouro usando todo o combustível que ela tem. Quando Margaret chega lá, o embarcadouro tá fechado, então ela decide voltar rio abaixo, aproveitando a corrente, e leva 8 horas para retornar ao ponto de partida. No total, a viagem levou 12 horas. A pergunta é: quanto tempo levaria se a lancha fosse reabastecida de combustível no embarcadouro, ou seja, se Margaret não precisasse fazer a volta rio abaixo?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento relativo entre a lancha e a água do rio, considerando as velocidades da lancha em relação à água e a corrente do rio.
Passo 2
Vamos definir algumas variáveis para facilitar:
-
: velocidade da lancha em relação à água (em km/h) -
: velocidade da corrente do rio (em km/h)
Quando a lancha vai rio acima (contra a corrente), a velocidade efetiva dela em relação à margem é
. Quando ela vai rio abaixo (a favor da corrente), a velocidade efetiva é
.
Passo 3
Sabemos que o tempo para ir rio acima até o embarcadouro é de 4 horas. Vamos chamar a distância até o embarcadouro de
. Então, usando a fórmula:
Temos:
Daqui, podemos isolar
:
Passo 4
Agora, Margaret volta rio abaixo e leva 8 horas para retornar. Usando a mesma fórmula para a viagem de volta:
Substituindo
pela expressão que encontramos anteriormente:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Dividindo ambos os lados por 4:
Distribuindo o 2:
Trazendo todos os termos com
para um lado e
para o outro:
Como velocidade não pode ser negativa, percebemos que houve um erro nos sinais. Na verdade, a equação correta após distribuir o 2 é:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, somando
aos dois lados:
Isso indica que há uma inconsistência nos dados ou na interpretação, já que a velocidade não pode ser negativa. Vamos revisar nossos cálculos.
Passo 6
Revisando o Passo 5:
A equação correta após distribuir o 2:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, somando
aos dois lados:
Na verdade, deve ser:
Isso significa que
, o que não faz sentido físico, já que velocidades não podem ser negativas. Isso nos indica que houve uma interpretação errada da relação entre as velocidades. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos considerar que a quantidade de combustível é suficiente para a viagem total de 12 horas (4 horas rio acima mais 8 horas rio abaixo). Se a lancha fosse reabastecida no embarcadouro, ela não precisaria retornar rio abaixo, então o tempo total seria apenas as 4 horas rio acima.
No entanto, o enunciado pede o tempo que levaria se a lancha fosse reabastecida, o que significa que ela poderia continuar navegando rio acima após se reabastecer.
Vamos recalcular isso considerando que, se reabastecida, a lancha teria combustível para mais tempo.
Passo 8
Se a lancha é reabastecida no embarcadouro, ela continuaria rio acima. Sabemos que sem reabastecer, ela podia ir 4 horas rio acima. Com reabastecimento, ela teria mais combustível para continuar. No total, a viagem deveria levar o dobro desse tempo, já que ela precisaria voltar sem reabastecer.
Portanto, o tempo total seria de 6 horas, que é a metade do total original de 12 horas.
Resposta
Portanto, se a lancha fosse reabastecida no embarcadouro, a viagem levaria aproximadamente
horas.